Question

已知=（sinθ，-2）與=（1，cosθ）互相垂直，其中θ∈（0，）．
（1）求sinθ和cosθ的值；
（2）若sin（θ-j）=，0＜j＜，求j的值．

Answer 1

解：（1）因?yàn)?img class='latex' src='http://thumb.1010pic.com/pic5/latex/44.png' />與互相垂直，
所以•=0．
所以sinθ-2cosθ=0，即sinθ=2cosθ．
因?yàn)閟in²θ+cos²θ=1，
所以（2cosθ）²+cos²θ=1．
解得cos²θ=．則sin²θ=．
因?yàn)棣取剩?，），
所以sinθ＞0，cosθ＞0，
所以sinθ=，cosθ=．
（2）因?yàn)?＜j＜，0＜θ＜，所以-＜θ-j＜，
所以cos（θ-j）==，
所以cosj=cos[θ-（θ-j）]=cosθcos（θ-j）+sinθsin（θ-j）=．所以j=．
分析：（1）先根據(jù)與互相垂直得到•=0，然后將=（sinθ，-2）與=（1，cosθ）代入可得到sinθ=2cosθ，再由同角三角函數(shù)的基本關(guān)系和θ的取值范圍可求得sinθ和cosθ的值．
（2）先根據(jù)j與θ的范圍確定θ-j的范圍，進(jìn)而根據(jù)同角三角函數(shù)的基本關(guān)系可求得cos（θ-j）的值，再由cosj=cos[θ-（θ-j）]和兩角和與差的余弦公式可求得最后答案．
點(diǎn)評(píng)：本題主要考查向量垂直與數(shù)量積的關(guān)系、同角三角函數(shù)的基本關(guān)系和兩角和與差的公式．考查基礎(chǔ)知識(shí)的綜合應(yīng)用，三角函數(shù)與向量的綜合題是高考的熱點(diǎn)問(wèn)題，每年必考，一定要加強(qiáng)練習(xí)．