【題目】已知函數(shù)
(1)討論f(x)的單調(diào)性;
(2)若f(x)有兩個(gè)零點(diǎn),求a的取值范圍.
【答案】(1)見解析;(2)
【解析】
(1)先求導(dǎo)數(shù),再討論導(dǎo)函數(shù)零點(diǎn),最后根據(jù)區(qū)間導(dǎo)函數(shù)符號(hào)確定單調(diào)性,
(2)結(jié)合函數(shù)單調(diào)性以及零點(diǎn)存在定理分類討論零點(diǎn)個(gè)數(shù),即得結(jié)果
解(1)
(。時(shí),當(dāng)時(shí),;當(dāng)時(shí),,
所以f(x)在單調(diào)遞減,在單調(diào)遞增;
(ⅱ)時(shí)
若,則,所以f(x)在單調(diào)遞增;
若,則,故當(dāng)時(shí),, ,;所以f(x)在單調(diào)遞增,在單調(diào)遞減;
若,則,故當(dāng),, ,;所以f(x)在單調(diào)遞增,在單調(diào)遞減;
綜上:時(shí),f(x)在單調(diào)遞減,在單調(diào)遞增;
時(shí),f(x)在單調(diào)遞增;
時(shí),f(x)在單調(diào)遞增,在單調(diào)遞減;
時(shí),f(x)在單調(diào)遞增,在單調(diào)遞減;
(2)(。┊(dāng)a>0,則由(1)知f(x)在單調(diào)遞減,在單調(diào)遞增,
又,,取b滿足,且,
則,所以f(x)有兩個(gè)零點(diǎn)
(ⅱ)當(dāng)a=0,則,所以f(x)只有一個(gè)零點(diǎn)
(ⅲ)當(dāng)a<0,若,則由(1)知,f(x)在單調(diào)遞增.又當(dāng)時(shí),,故f(x)不存在兩個(gè)零點(diǎn)
,則由(1)知,f(x)在單調(diào)遞減,在單調(diào)遞增,又當(dāng),f(x)<0,故f(x)不存在兩個(gè)零點(diǎn)
綜上,a的取值范圍為.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù),則下列判斷中是真命題的有( ).
①,;②是偶函數(shù);③對(duì)于任意一個(gè)非零有理數(shù),,;④存在三個(gè)點(diǎn),,,使得為等邊三角形.
A.①②③B.①②③④C.①③④D.②③④
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù),其中常數(shù).
(1)當(dāng)時(shí),求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間.
(2)設(shè)定義在上的函數(shù)在點(diǎn)處的切線方程為.當(dāng)時(shí),若在內(nèi)恒成立,則稱為函數(shù)的“類對(duì)稱點(diǎn)”.當(dāng)時(shí),是否存在“類對(duì)稱點(diǎn)”?若存在,請(qǐng)求出一個(gè)“類對(duì)稱點(diǎn)”的橫坐標(biāo);若不存在,請(qǐng)說明理由.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖所示,一個(gè)質(zhì)點(diǎn)在第一象限運(yùn)動(dòng),第一秒鐘內(nèi)它由原點(diǎn)移動(dòng)到,而后它接著按圖所示在與軸、軸平行的方向運(yùn)動(dòng),且每秒移動(dòng)一個(gè)單位長(zhǎng)度,那么2018秒后,這個(gè)質(zhì)點(diǎn)所處的位置的坐標(biāo)是________.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知點(diǎn)、為雙曲線的左、右焦點(diǎn),過作垂直于軸的直線,在軸上方交雙曲線于點(diǎn),且,圓的方程是.
(1)求雙曲線的方程;
(2)過雙曲線上任意一點(diǎn)作該雙曲線兩條漸近線的垂線,垂足分別為、,求的值;
(3)過圓上任意一點(diǎn)作圓的切線交雙曲線于、兩點(diǎn),中點(diǎn)為,求證:
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】大衍數(shù)列,來源于《乾坤譜》中對(duì)易傳“大衍之?dāng)?shù)五十“的推論.主要用于解釋中國(guó)傳統(tǒng)文化中的太極衍生原理數(shù)列中的每一項(xiàng),都代表太極衍生過程中,曾經(jīng)經(jīng)歷過的兩儀數(shù)量總和是中華傳統(tǒng)文化中隱藏著的世界數(shù)學(xué)史上第一道數(shù)列題其規(guī)律是:偶數(shù)項(xiàng)是序號(hào)平方再除以2,奇數(shù)項(xiàng)是序號(hào)平方減1再除以2,其前10項(xiàng)依次是0,2,4,8,12,18,24,32,40,50,…,如圖所示的程序框圖是為了得到大衍數(shù)列的前100項(xiàng)而設(shè)計(jì)的,那么在兩個(gè)判斷框中,可以先后填入( )
A. 是偶數(shù)?,? B. 是奇數(shù)?,?
C. 是偶數(shù)?, ? D. 是奇數(shù)?,?
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】正方形ABCD的邊長(zhǎng)為2,對(duì)角線AC、BD相交于點(diǎn)O,動(dòng)點(diǎn)P滿足,若,其中m、nR,則的最大值是________
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】若函數(shù)在區(qū)間上的最大值是,最小值是,則( )
A.與有關(guān),且與有關(guān)B.與有關(guān),但與無關(guān)
C.與無關(guān),且與無關(guān)D.與無關(guān),但與有關(guān)
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在四棱錐中,底面是正方形,,.
(1)證明:平面;
(2)若是的中點(diǎn),是棱上一點(diǎn),且平面,求二面角的余弦值.
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