Question

9．為了尋找馬航MH370殘骸，我國(guó)“雪龍?zhí)枴笨瓶即��?014年3月26日從港口O出發(fā)，沿北偏東15°角的射線OZ方向航行，而在港口北偏東60°角的方向上有一個(gè)給科考船補(bǔ)給物資的小島A，OA=100（1+$\sqrt{3}$）海里，現(xiàn)指揮部需要緊急征調(diào)位于港口O正東x（x＞200）海里的B處的補(bǔ)給船，速往小島A裝上補(bǔ)給物資供給科考船，該船沿BA方向全速追趕科考船，并在C相遇，經(jīng)測(cè)算當(dāng)兩船運(yùn)行的航線與海岸線OB圍成的三角形OBC的面積S小時(shí)，這種補(bǔ)給方案最優(yōu)．
（1）OC=y海里，求y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式；
（2）當(dāng)x取何值時(shí)，補(bǔ)給方案最優(yōu)，求出此時(shí)OBC的面積S的最小值．

Answer 1

分析 （1）過(guò)A作AD⊥OB于D，AE⊥OC于E，求出AD，AE，根據(jù)S_△OBC=S_△OAB+S_△OAC=$\frac{1}{2}OB•OC•sin∠BOC$列方程整理即可得出答案；
（2）利用（1）中的面積公式，使用基本不等式得出面積的最小值及成立的條件．

解答 解：（1）由題意可知∠AOB=30°，∠AOC=45°，∴∠BOC=75°．
過(guò)A作AD⊥OB于D，AE⊥OC于E，
則AD=OA•sin30°=50（1+$\sqrt{3}$），AE=OA•sin45°=50$\sqrt{2}$（1+$\sqrt{3}$）．sin∠BOC=sin（45°+30°）=$\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}$．
∴S_△OBC=S_△OAB+S_△OAC=$\frac{1}{2}OB•AD$+$\frac{1}{2}OC•AE$=25（1+$\sqrt{3}$）x+25$\sqrt{2}$（1+$\sqrt{3}$）y，
又S_△OBC=$\frac{1}{2}OB•OC•sin∠BOC$=$\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{8}$xy，
∴25（1+$\sqrt{3}$）x+25$\sqrt{2}$（1+$\sqrt{3}$）y=$\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{8}$xy，
∴y=$\frac{100\sqrt{2}x}{x-200}$．
（2）由（1）知S_△OBC=$\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{8}xy$=25（1+$\sqrt{3}$）$•\frac{{x}^{2}}{x-200}$=25（1+$\sqrt{3}$）[（x-200）+$\frac{40000}{x-200}$+400]≥25（1+$\sqrt{3}$）•[2$\sqrt{40000}$+400]=20000（1+$\sqrt{3}$）．
當(dāng)且僅當(dāng)x-200=$\frac{40000}{x-200}$即x=400時(shí)，取等號(hào)．
∴當(dāng)x=400時(shí)，補(bǔ)給方案最優(yōu)，此時(shí)三角形OBC的面積S的最小值為20000（1+$\sqrt{3}$）平方海里．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了解三角形的應(yīng)用，基本不等式的應(yīng)用，三角形的面積公式，屬于中檔題．