Question

【題目】已知函數(shù)．

（1）討論的單調(diào)性；

（2）若函數(shù)有三個零點，證明：當時，．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）見解析

【解析】分析：（1）先求導，再對a分類討論得到的單調(diào)性.(2)先轉化函數(shù)有三個零點得到，再利用分析法和導數(shù)證明.

詳解：(1)

令,則或,

當時,,在上是增函數(shù)；

當時,令,得,,

所以在,上是增函數(shù)；

令,得,

所以在上是減函數(shù)

當時,令,得,,

所以在,上是增函數(shù)；

令,得,所以在上是減函數(shù)

綜上所述：

當時,在上是增函數(shù)；

當時,在,上是增函數(shù),在上是減函數(shù).

當時,在,上是增函數(shù),在上是減函數(shù).

（2）由(1)可知：當時,在上是增函數(shù)，函數(shù)不可能有三個零點；

當時,在,上是增函數(shù),在上是減函數(shù).

的極小值為，函數(shù)不可能有三個零點

當時,,

要滿足有三個零點,則需,即

當時,要證明：等價于要證明

即要證：

由于,故等價于證明：,證明如下：

構造函數(shù)

令

,函數(shù)在單調(diào)遞增

,函數(shù)在單調(diào)遞增

,

∴．