Question

如圖，已知菱形ABCD的邊長為6，∠BAD=60°，AC∩BD=O．將菱形ABCD沿對角線AC折起，使，得到三棱錐B-ACD．
（Ⅰ）若點M是棱BC的中點，求證：OM∥平面ABD；
（Ⅱ）求二面角A-BD-O的余弦值；
（Ⅲ）設(shè)點N是線段BD上一個動點，試確定N點的位置，使得，并證明你的結(jié)論．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）由題意及圖形可以得出OM是中位線，則OM∥AB，再由線面平行的判定定理得出OM∥平面ABD；、
（Ⅱ）建立空間直角坐標(biāo)系O-xyz，如圖所示，得出圖形中各點的坐標(biāo)，求出兩個平面平面ABD的法向量及平面BOD的法向量，再由公式求出兩個平面的夾角；
（Ⅲ）設(shè)出點N的坐標(biāo)，得出線段CN對應(yīng)的向量的坐標(biāo)，求出它的模，利用其長度等于建立方程求出點N的坐標(biāo)
解答：解：（Ⅰ）證明：因為點O是菱形ABCD的對角線的交點，
所以O(shè)是AC的中點．又點M是棱BC的中點，
所以O(shè)M是△ABC的中位線，OM∥AB．…（1分）
因為OM?平面ABD，AB?平面ABD，
所以O(shè)M∥平面ABD．…（3分）
（Ⅱ）由題意，OB=OD=3，
因為，
所以∠BOD=90°，OB⊥OD．…（4分）
又因為菱形ABCD，所以O(shè)B⊥AC，OD⊥AC．
.，B（0，0，3）．
所以，…（6分）
設(shè)平面ABD的法向量為n=（x，y，z），
則有即：
令x=1，則，所以n=．…（7分）
因為AC⊥OB，AC⊥OD，所以AC⊥平面BOD．
平面BOD的法向量與AC平行，
所以平面BOD的法向量為n=（1，0，0）．…（8分）
∴，
因為二面角A-BD-O是銳角，
所以二面角A-BD-O的余弦值為．…（9分）
（Ⅲ）因為N是線段BD上一個動點，設(shè)N（x₁，y₁，z₁），，
則（x₁，y₁，z₁-3）=λ（0，3，-3），
所以x₁=0，y₁=3λ，z₁=3-3λ，…（10分）
則N（0，3λ，3-3λ），，
由得，即9λ²-9λ+2=0，…（11分）
解得或，…（12分）
所以N點的坐標(biāo)為（0，2，1）或（0，1，2）．…（13分）
（也可以答是線段BD的三等分點，或）
點評：本題考查用空間向量求平面間的夾角，解題的關(guān)鍵是熟練掌握向量法求二面角的公式，利用空間向量求二面角是向量引入高中的主要目的，大大降低了立體幾何中求二面角、線面角的解題難度，要注意總結(jié)向量在幾何中的運用規(guī)律，達(dá)到能熟練地運用向量工具解決幾何題的程度