Question

16．已知函數(shù)f（x）=a-$\frac{2}{{2}^{x}+1}$
（1）求證：f（x）為增函數(shù)；
（2）若f（x）為奇函數(shù)，求f（x）的值域；
（3）在（2）成立的情況下，若g（x）=xf（x）-2m+5，在定義域內(nèi)總有g(shù)（x）≥0成立，求m的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)函數(shù)單調(diào)性的定義進(jìn)行證明，
（2）根據(jù)函數(shù)奇偶性的性質(zhì)，結(jié)合指數(shù)函數(shù)單調(diào)性的性質(zhì)進(jìn)行求解．
（3）根據(jù)指數(shù)函數(shù)單調(diào)性的性質(zhì)進(jìn)行求解．

解答 解：（1）∵f（x）的定義域?yàn)镽，不妨設(shè)：x₁＜x₂
則$f（{x_1}）-f（{x_2}）=a-\frac{2}{{{2^{x_1}}+1}}-a+\frac{2}{{{2^{x_2}}+1}}$=$\frac{{2•（{2^{x_1}}-{2^{x_2}}）}}{{（1+{2^{x_1}}）（1+{2^{x_2}}）}}$，
∵x₁＜x₂，∴${2^{x_1}}-{2^{x_2}}＜0，（1+{2^{x_1}}）（1+{2^{x_2}}）＞0$，
∴f（x₁）-f（x₂）＜0，
即f（x₁）＜f（x₂），所以不論a為何實(shí)數(shù)f（x）總為增函數(shù)．…（3分）
（2）∵f（x）為奇函數(shù)，∴f（-x）=-f（x），
即$a-\frac{2}{{{2^{-x}}+1}}=-a+\frac{2}{{{2^x}+1}}$，解得：a=1．∴$f（x）=1-\frac{2}{{{2^x}+1}}$．…（5分）
$f（x）=1-\frac{2}{{{2^x}+1}}$，
∵2^x+1＞1，∴$0＜\frac{2}{{{2^x}+1}}＜2$，∴$-2＜-\frac{2}{{{2^x}+1}}＜0$，∴-1＜f（x）＜1
∴f（x）的值域?yàn)椋?1，1）．…（8分）
（3）在定義域內(nèi)總有g(shù)（x）≥0成立，即xf（x）≥2m-5在R內(nèi)總成立，
結(jié)合（2）當(dāng)x≥0時(shí)，2^x+1≥2，$0＜\frac{2}{{{2^x}+1}}≤1$$0≤1-\frac{2}{{{2^x}+1}}＜1$，即f（x）≥0，
∴xf（x）≥0
同理：當(dāng)x＜0時(shí)，f（x）＜0，∴xf（x）＞0，
∴xf（x）≥0在R內(nèi)總成立，
∴0≥2m-5，$m≤\frac{5}{2}$
∴當(dāng)$m≤\frac{5}{2}$時(shí)，定義域內(nèi)總有g(shù)（x）≥0成立．  …（12分）

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查函數(shù)奇偶性和單調(diào)性的判斷和證明，利用定義法以及轉(zhuǎn)化法是解決本題的關(guān)鍵．綜合考查函數(shù)的性質(zhì)．