Question

如圖，在三棱錐P-ABC中，AB⊥BC，AB=BC，PA=AC，點(diǎn)O、D分別是AC、PC的中點(diǎn)，OP⊥平面ABC，
（1）求證：OD∥平面PAB；
（2）求直線PA與平面PBC所成角的正弦值；
（3）M是線段PA上的動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)二面角M-BO-D的大小為45°時(shí)，求|PM|：|MA|的值．

Answer 1

分析：（1）建立空間直角坐標(biāo)系，分別求出OD和PA的方向向量，利用共線向量證明線線平行后，再由線面平行的判定定理得到OD∥平面PAB；
（2）求出直線PA的方向向量和平面PBC的法向量，代入向量夾角公式，可得直線PA與平面PBC所成角的正弦值；
（3）設(shè)存在滿足條件的點(diǎn)M，根據(jù)二面角M-BO-D的大小為45°，可得二面角的平面角∠MOD=45°，則在△AMO中，∠AMO=45°，∠MAO=60°，∠AOM=75°，AO=

2

2

a，解△AMO，可得|PM|：|MA|的值．

解答：解：∵OP⊥平面ABC，OA=OC，AB=BC，
∴OA⊥OB，OA⊥OP，OB⊥OP．
以O(shè)為原點(diǎn)，OA，OB，OP為x，y，z軸，建立空間直角坐標(biāo)系O-xyz（如圖），
設(shè)AB=a，則A（

2

2

a，0，0），B（0，

2

2

a，0），C（-

2

2

a，0，0），
設(shè)OP=h，則P（0，0，h）．
（Ⅰ）∵D為PC的中點(diǎn)，
∴

OD

=（-

2

4

a，0，

1

2

h）
又∵

PA

=（

2

2

a，0，h）．
∴

OD

=-

1

2

PA

∴

OD

∥

PA

即OD∥PA
又∵OD?平面PAB，PA?平面PAB
∴OD∥平面PAB．
（Ⅱ）∵PA=AC=

2

a
∴h=

6

2

a，P點(diǎn)坐標(biāo)為（0，0，

6

2

a），
∴

PA

=（

2

2

a，0，-

6

2

a），

PB

=B（0，

2

2

a，-

6

2

a），

PC

=（-

2

2

a，0，-

6

2

a），
設(shè)平面PBC的法向量為

m

=（x，y，z），
則

m • PB =0 m • PC =0

，即

2 2 ay- 6 2 az=0 - 2 2 x- 6 2 az=0

令z=1，則

m

=（-

3

，

3

，1）
則直線PA與平面PBC所成角θ滿足，
sinθ=

| m • PA |

| m |•| PA |

=

21

7

即直線PA與平面PBC所成角的正弦值為

21

7

（3）設(shè)存在滿足條件的點(diǎn)M，
∵M(jìn)點(diǎn)在線段PA上，故可設(shè)

PM

=λ

PA

（0≤λ≤1）
∵BO⊥PAC，MO，DO?平面PAC，
∴∠MOD即為二面角M-BO-D的平面角
即∠MOD=45°
由（1）中OD∥PA，可得△AMO中，∠AMO=45°，∠MAO=60°，則∠AOM=75°，
由正弦定理及AO=

2

2

a得
AM=

6 + 2

4

a，PM=（

2

-

6 + 2

4

）a
∴|PM|：|MA|=

6 + 2

4

a：（

2

-

6 + 2

4

）a=(2

3

-3)：1

點(diǎn)評(píng)：本題考查線面平行，考查線面夾角，考查存在性問題的探究，解題的關(guān)鍵是掌握線面平行的判定定理，正確運(yùn)用向量的方法解決線面角、線線角．