Question

設(shè)，．
（1）令，討論在內(nèi)的單調(diào)性并求極值；
（2）求證：當(dāng)時(shí)，恒有．

Answer 1

(1) 在內(nèi)是減函數(shù)，在內(nèi)是增函數(shù), 在處取得極小值 ;(2)詳見解析.

試題分析：（1）先根據(jù)求導(dǎo)法求導(dǎo)數(shù)fˊ（x），在函數(shù)的定義域內(nèi)解不等式fˊ（x）＞0和fˊ（x）＜0，求出單調(diào)區(qū)間及極值即可．
（2）欲證x＞ln²x-2a ln x+1，即證x-1-ln²x+2alnx＞0，也就是要證f（x）＞f（1），根據(jù)第一問的單調(diào)性即可證得.
試題解析：解（1）解：根據(jù)求導(dǎo)法則有，
故，         3分
于是，
列表如下：

		2
		0
	遞減	極小值	遞增

故知在內(nèi)是減函數(shù)，在內(nèi)是增函數(shù)，所以，在處取得極小值． 6
（2）證明：由知，的極小值．
于是由上表知，對(duì)一切，恒有．
從而當(dāng)時(shí)，恒有，故在內(nèi)單調(diào)增加．
所以當(dāng)時(shí)，，即．
故當(dāng)時(shí)，恒有．    .12