Question

設(shè)曲線C₁：

x2

a2

+y2=1（a為正常數(shù)）與C₂：y²=2（x+m） 在x軸上方僅有一個公共點(diǎn)P．
（1）求實數(shù)m的取值范圍（用a表示）；
（2）O為原點(diǎn)，若C₁與x軸的負(fù)半軸交于點(diǎn)A，當(dāng)0＜a＜

1

2

時，試求△OAP的面積的最大值（用a表示）．

Answer 1

（1）由

x2 a2 +y2=1 y2=2(x+m)

消去y得，x²+2a²x+2a²m-a²=0．              ①
設(shè)f（x）=x²+2a²x+2a²m-a²，問題（1）轉(zhuǎn)化為方程①在x∈（-a，a）上有唯一解或等根．
只須討論以下三種情況：
1°△=0得m=

a2+1

2

，此時x_p=-a²，當(dāng)且僅當(dāng)-a＜-a²＜a，即0＜a＜1時適合；
2°f（a）•f（-a）＜0當(dāng)且僅當(dāng)-a＜m＜a；
3°f（-a）=0得m=a，此時 x_p=a-2a²，當(dāng)且僅當(dāng)-a＜a-2a²＜a，即0＜a＜1時適合．
f（a）=0得m=-a，此時 x_p=-a-2a²，由于-a-2a²＜-a，從而m≠-a．
綜上可知，當(dāng)0＜a＜1時，m=

a2+1

2

或-a＜m≤a；當(dāng)a≥1時，-a＜m＜a．
（2）△OAP的面積S=

1

2

ay_p．
∵0＜a＜

1

2

，∴-a＜m≤a時，0＜-a2+a

a2+1-2m

＜a，由唯一性得x_p=-a2+a

a2+1-2m

．
顯然當(dāng)m=a時，x_p取值最�。�
由于x_p＞0，從而yp=

1- x 2p a2

取值最大，此時y_p=2

a-a2

，∴S=a

a-a2

．
當(dāng)m=

a2+1

2

時，x_p=-a²，y_p=

1-a2

，此時S=

1

2

a

1-a2

．
下面比較a

a-a2

與

1

2

a

1-a2

的大小：
令a

a-a2

=

1

2

a

1-a2

，得a=

1

3

．
故當(dāng)0＜a≤

1

3

時，a

a(1-a)

≤

1

2

a

1-a2

，此時S_max=

1

2

a

1-a2

．
當(dāng)

1

3

＜a＜

1

2

時，a

a(1-a)

＞

1

2

a

1-a2

，此時S_max=a

a-a2

．…（20分）