Question

已知數列{a_n}中，S_n是它的前n項和，并且S_n+1=4a_n+2(n=1,2,…),a₁=1

(1)設b_n=a_n+1－2a_n(n=1,2,…),求證{b_n}是等比數列;

(2)設c_n=(n=1,2,…),求證{c_n}是等差數列；

（3）求數列{a_n}的通項公式及前n項和公式.

Answer 1

答案：
解析：

解：（1）∵Sn+1=4an+2                              ①                                                                                                                                                              ∴Sn+2=4an+1+2                                              ②                                                                                                                                                  ②－①得Sn+2－Sn+1=4an+1－4an(n=1,2,…)，即an+2=4an+1－4an an+2－2an+1=2(an+1－2an) ∵bn=an+1－2an(n=1,2,…) ∴bn+1=2bn 由此可知，數列{bn}是公比為2的等比數列. 由S2=a1+a2=4a1+2,又a1=1,得a2=5 ∴b1=a2－2a1=3,∴bn=3·2n－1 (2)∵cn= (n=1,2,…),∴cn+1－cn= 將bn=3·2n－1代入，得cn+1－cn=(n=1,2,…) 由此可知：數列{cn}是公差為的等差數列，c1== ,故cn=+ (3)∵cn= ∴an=2n·cn=(3n－1)·2n－2(n=1,2,…) 當n≥2時，Sn=4an－1+2=(3n－4)·2n－1+2. 由于S1=a1=1也適合于此式,∴前n項公式為Sn=(3n－4)·2n－1+2