如圖,扇形AOB,圓心角AOB等于60°,半徑為2,在弧AB上有一動(dòng)點(diǎn)P,過P引平行于OB的直線和OA交于點(diǎn)C,設(shè)∠AOP=θ,求△POC面積的最大值及此時(shí)θ的值.

【答案】分析:根據(jù)CP∥OB求得∠CPO和和∠OCP進(jìn)而在△POC中利用正弦定理求得PC和OC,進(jìn)而利用三角形面積公式表示出S(θ)利用兩角和公式化簡(jiǎn)整理后,利用θ的范圍確定三角形面積的最大值.
解答:解:因?yàn)镃P∥OB,所以∠CPO=∠POB=60°-θ,∴∠OCP=120°.
在△POC中,由正弦定理得
=,∴=,所以CP=sinθ.
=,∴OC=sin(60°-θ).
因此△POC的面積為
S(θ)=CP•OCsin120°=sinθ•sin(60°-θ)×
=sinθsin(60°-θ)=sinθ(cosθ-sinθ)
=sinθcosθ-sin2θ)
=sin2θ+cos2θ-
=[cos(2θ-60°)-],θ∈(0°,60°).
所以當(dāng)θ=30°時(shí),S(θ)取得最大值為
點(diǎn)評(píng):本題主要考查了三角函數(shù)的模型的應(yīng)用.考查了考生分析問題和解決問題的能力.
練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

精英家教網(wǎng)如圖,在半徑為R、圓心角為
π3
的扇形金屬材料中剪出一個(gè)長方形EPQF,并且EP與∠AOB的平分線OC平行,設(shè)∠POC=θ.
(1)試寫出用θ表示長方形EPQF的面積S(θ)的函數(shù).
(2)現(xiàn)用EP和FQ作為母線并焊接起來,將長方形EFPQ制成圓柱的側(cè)面,能否從△OEF中直接剪出一個(gè)圓面作為圓柱形容器的底面?如果不能請(qǐng)說明理由.如果可能,求出側(cè)面積最大時(shí)容器的體積.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

如圖,在半徑為R、圓心角為
π3
的扇形金屬材料中剪出一個(gè)長方形EPQF,并且EP與∠AOB的平分線OC平行,設(shè)∠POC=θ.
(1)試寫出用θ表示長方形EPQF的面積S(θ)的函數(shù);
(2)在余下的邊角料中在剪出兩個(gè)圓(如圖所示),試問當(dāng)矩形EPQF的面積最大時(shí),能否由這個(gè)矩形和兩個(gè)圓組成一個(gè)有上下底面的圓柱?如果可能,求出此時(shí)圓柱的體積.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

精英家教網(wǎng)如圖圓C內(nèi)切于扇形AOB,∠AOB=
π
3
,若在扇形AOB內(nèi)任取一點(diǎn),則該點(diǎn)在圓C 內(nèi)的概率為(  )
A、
1
6
B、
1
3
C、
2
3
D、
3
4

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

(2013•南京二模)如圖,某廣場(chǎng)中間有一塊扇形綠地OAB,其中O為扇形所在圓的圓心,∠AOB=60°,廣場(chǎng)管理部門欲在綠地上修建觀光小路:在
AB
上選一點(diǎn)C,過C修建與OB平行的小路CD,與OA平行的小路CE,問C應(yīng)選在何處,才能使得修建的道路CD與CE的總長最大,并說明理由.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題

如圖,在半徑為R、圓心角為數(shù)學(xué)公式的扇形金屬材料中剪出一個(gè)長方形EPQF,并且EP與∠AOB的平分線OC平行,設(shè)∠POC=θ.
(1)試寫出用θ表示長方形EPQF的面積S(θ)的函數(shù);
(2)在余下的邊角料中在剪出兩個(gè)圓(如圖所示),試問當(dāng)矩形EPQF的面積最大時(shí),能否由這個(gè)矩形和兩個(gè)圓組成一個(gè)有上下底面的圓柱?如果可能,求出此時(shí)圓柱的體積.

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