Question

18．定義實(shí)數(shù)集R的子集M的特征函數(shù)為${f_M}（x）=\left\{\begin{array}{l}1，x∈M\\ 0，x∈{C_R}M\end{array}\right.$．若A，B⊆R，對(duì)任意x∈R，有如下判斷：
①若A⊆B，則f_A（x）≤f_B（x）；      ②f_A∩B（x）=f_A（x）•f_B（x）；
③${f_{{C_R}A}}（x）=1-{f_A}（x）$；               ④f_A∪B（x）=f_A（x）+f_B（x）．
其中正確的是①②③．（填上所有滿足條件的序號(hào)）

Answer 1

分析 根據(jù)題中特征函數(shù)的定義，利用集合的交集、并集和補(bǔ)集運(yùn)算法則，對(duì)各項(xiàng)中的運(yùn)算加以驗(yàn)證，可得①②③都可以證明它們的正確性，而④可通過反例說明它不正確．由此得到本題答案．

解答 解：由題意，可得
對(duì)于A，因?yàn)锳⊆B，可得x∈A則x∈B，
∵f_A（x）=$\left\{\begin{array}{l}{1，x∈A}\\{0，x∈{C}_{R}A}\end{array}\right.$，f_B（x）=$\left\{\begin{array}{l}{1，x∈B}\\{0，x∈{C}_{R}B}\end{array}\right.$，
而C_RA中可能有B的元素，但C_RB中不可能有A的元素
∴f_A（x）≤f_B（x），
即對(duì)于任意x∈R，都有f_A（x）≤f_B（x）故①正確
對(duì)于C，f_A∩B（x）=$\left\{\begin{array}{l}{1，x∈A∩B}\\{0，x∈{C}_{R}（A∩B）}\end{array}\right.$=$\left\{\begin{array}{l}{1，x∈A}\\{0，x∈{C}_{R}A}\end{array}\right.$•$\left\{\begin{array}{l}{1，x∈B}\\{0，x∈{C}_{R}B}\end{array}\right.$=f_A（x）•f_B（x），
故②正確
對(duì)于③，${f}_{{C}_{R}A}$=$\left\{\begin{array}{l}{1，x∈{C}_{R}A}\\{0，x∈A}\end{array}\right.$，結(jié)合f_A（x）的表達(dá)式，可得${f}_{{C}_{R}A}$=1-f_A（x），故③正確
對(duì)于④，f_A∪B（x）=$\left\{\begin{array}{l}{1，x∈A∪B}\\{0，x∈{C}_{R}（A∪B）}\end{array}\right.$
當(dāng)某個(gè)元素x在A中但不在B中，由于它在A∪B中，故f_A∪B（x）=1，
而f_A（x）=1且f_B（x）=0，可得f_A∪B（x）≠f_A（x）•f_B（x）
由此可得④不正確．
故答案為：①②③．

點(diǎn)評(píng) 本題給出特征函數(shù)的定義，判斷幾個(gè)命題的真假性，著重考查了集合的運(yùn)算性質(zhì)和函數(shù)對(duì)應(yīng)法則的理解等知識(shí)，屬于中檔題．