已知圓C:x2+y2+2x-4y+3=0
(1)若圓Q的圓心在直線y=x+3上,半徑為
2
,且與圓C外切,求圓Q的方程;
(2)若圓C的切線在x軸,y軸上的截距相等,求此切線的方程.
分析:(1)設(shè)圓Q的圓心為Q(a,b),利用圓Q的圓心在直線y=x+3上,半徑為
2
,且與圓C外切,可得b=a+3,|CQ|=R+r即可得出;
(2)分類討論:當(dāng)切線過原點(diǎn)時(shí),當(dāng)截距不為0時(shí),兩種情況.再利用切線的性質(zhì):圓心到切線的距離d=r即可得出.
解答:解:(1)由圓C:x2+y2+2x-4y+3=0,可得(x+1)2+(y-2)2=2.,圓心為C(-1,2),半徑r=
2

設(shè)圓Q的圓心為Q(a,b),
∵圓Q的圓心在直線y=x+3上,半徑為
2
,且與圓C外切,
b=a+3
|CQ|=
(-1-a)2+(2-b)2
=
2
+
2
,解得
a=1
b=4
a=-3
b=0

因此圓Q的方程為:(x-1)2+(y-4)2=2或(x+3)2+y2=2.
(2)①當(dāng)切線過原點(diǎn)時(shí),設(shè)切線的方程為y=kx,則
|-k-2|
1+k2
=
2
,化為k2-4k-2=0,解得k=
6
,此時(shí)切線方程為y=(2±
6
)x

②當(dāng)截距不為0時(shí),設(shè)切線的方程為x+y+m=0.
|-1+2+m|
2
=
2
,化為|1+m|=2,解得m=1或-3.
此時(shí)切線方程為x+y-3=0或x+y+1=0.
綜上可得:滿足條件的切線方程為:
y=(2±
6
)x或x+y-3=0或x+y+1=0
點(diǎn)評(píng):本題考查了圓的方程、切線的性質(zhì)、點(diǎn)到直線的距離公式、分類討論、截距式等基礎(chǔ)知識(shí)與基本技能方法,屬于中檔題.
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7
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qp
,其中p、q均為整數(shù)且p、q互質(zhì))
(3)定義:實(shí)半軸長(zhǎng)a、虛半軸長(zhǎng)b和半焦距c都是正整數(shù)的雙曲線為“整勾股雙曲線”.
當(dāng)0<k<1時(shí),是否能構(gòu)造“整勾股雙曲線”,它的實(shí)半軸長(zhǎng)、虛半軸長(zhǎng)和半焦距的長(zhǎng)恰可由點(diǎn)B的橫坐標(biāo)、縱坐標(biāo)和半徑r的數(shù)值構(gòu)成?若能,請(qǐng)嘗試探索其構(gòu)造方法;若不能,試簡(jiǎn)述你的理由.

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x
a
y
b
=1
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