在△ABC中，內(nèi)角A，B，C的對應(yīng)邊分別為a，b，c，已知a=csinB+bcosC．
（1）求A+C的值；
（2）若b=
2
，求△ABC面積的最大值．
考點(diǎn)：正弦定理
專題：解三角形
分析：（1）已知等式利用正弦定理化簡，再利用誘導(dǎo)公式及兩角和與差的正弦函數(shù)公式化簡，求出tanB的值，確定出B的度數(shù)，即可求出A+C的度數(shù)；
（2）利用余弦定理列出關(guān)系式，把b，cosB的值代入并利用基本不等式求出ac的最大值，即可確定出三角形面積的最大值．
解答： 解：（1）由正弦定理得到：sinA=sinCsinB+sinBcosC，
∵在△ABC中，sinA=sin[π-（B+C）]=sin（B+C），
∴sin（B+C）=sinBcosC+cosBsinC=sinCsinB+sinBcosC，
∴cosBsinC=sinCsinB，
∵C∈（0，π），sinC≠0，
∴cosB=sinB，即tanB=1，
∵B∈（0，π），
∴B=
π
4
，即A+C=
3π
4
；
（2）由余弦定理得到：b2=a2+c2-2accosB，即2=a2+c2-
2
ac，
∴2+
2
ac=a2+c2≥2ac，即ac≤
2
2-
2
=2+
2
，
當(dāng)且僅當(dāng)a=c，即a=c=
2+
2
時取“=”，
∵S△ABC=
1
2
acsinB=
2
4
ac，
∴△ABC面積的最大值為
1+
2
2
．
點(diǎn)評：此題考查了正弦、余弦定理，以及三角形的面積公式，熟練掌握定理及公式是解本題的關(guān)鍵．
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相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知F1、F2分別為橢圓C的兩個焦點(diǎn)，點(diǎn)B為其短軸的一個端點(diǎn)，若△BF1F2為等邊三角形，則該橢圓的離心率為（　�。�
A、2
B、
3
C、
3
2
D、
1
2

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

在△ABC中，設(shè)三邊AB，BC，CA的中點(diǎn)分別為E，F(xiàn)，D，則
EC
+
FA
=（　　）
A、
BD
B、
1
2
BD
C、
AC
D、
1
2
AC

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

2
21
12
+3
31
-2-3
=
 
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知函數(shù)f（x）=（x-a）lnx，a∈R．
（Ⅰ）若a=0，對于任意的x∈（0，1），求證：-
1
e
≤f（x）＜0；
（Ⅱ）若函數(shù)f（x）在其定義域內(nèi)不是單調(diào)函數(shù)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知四棱錐底面是邊長為2的正方形，側(cè)棱長均為2，則側(cè)面與底面所成二面角的余弦值為（　　）
A、
3
2
B、
3
6
C、
3
3
D、
6
3

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知y=f（x）為二次函數(shù)，若y=f（x）在x=2處取得最小值-4，且y=f（x）的圖象經(jīng)過原點(diǎn)，則函數(shù)y=f(log
1
2
x)在區(qū)間[
1
8
，2]上的最大值為
 
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

設(shè)函數(shù)f（x）=
-x2+4x，x≤4
log2x，x＞4
，若函數(shù)f（x）在（a，a+1）遞增，則a的取值范圍是
 
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知函數(shù)f（x）=
2x-1，x＜0
2x，x＞0
，那么f（3）=
 
．

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