Question

如圖，直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AB=1，BC=2，AC=

5

，AA₁=3，M為線段BB₁上的一動點，則當(dāng)AM+MC₁最小時，△AMC₁的面積為

 

．

Answer 1

分析：先將直三棱柱ABC-A₁B₁C₁沿棱BB₁展開成平面連接AC₁，與BB₁的交點即為滿足AM+MC₁最小時的點M，由此可以求得△AMC₁的三邊長，再由余弦定理求出其中一角，由面積公式求出面積

解答：解：將直三棱柱ABC-A₁B₁C₁沿棱BB₁展開成平面連接AC₁，與BB₁的交點即為滿足AM+MC₁最小時的點M，
由于AB=1，BC=2，AA₁=3，再結(jié)合棱柱的性質(zhì)，可得BM=

1

3

AA₁=1，故B₁M=2
由圖形及棱柱的性質(zhì)，可得AM=

2

，AC₁=

14

，MC₁=2

2

cos∠AMC₁=

2+8-14

2× 2 × 2 2

=-

1

2

故sin∠AMC₁=

3

2

△AMC₁的面積為

1

2

×

2

×2

2

×

3

2

=

3

故答案為

3

點評：本題考查棱柱的特征，求解本題的關(guān)鍵是根據(jù)棱柱的結(jié)構(gòu)特征及其棱長等求出三角形的邊長，再由面積公式求面積，本題代數(shù)與幾何相結(jié)合，綜合性強，解題時要注意運算準(zhǔn)確，正確認識圖形中的位置關(guān)系．