Question

三位同學(xué)在研究函數(shù)（x∈R） 時，分別給出下面三個結(jié)論：
①函數(shù)f（x）的值域?yàn)?（-1，1）
②若x₁≠x₂，則一定有f（x₁）≠f（x₂）
③若規(guī)定f₁（x）=f（x），f_n+1（x）=f[f_n（x）]，則對任意n∈N^*恒成立．
你認(rèn)為上述三個結(jié)論中正確的個數(shù)有________．

Answer 1

3
分析：函數(shù)化為分段函數(shù)即函數(shù)∵f（-x）=-f（x）∴函數(shù)為奇函數(shù)，從而判斷函數(shù)當(dāng)x≥0時的性質(zhì)即可，由值域和單調(diào)性可得①②正確，③的正確性可用數(shù)學(xué)歸納法證明
解答：函數(shù)化為分段函數(shù)即函數(shù)
∵f（-x）=-f（x）
∴函數(shù)為奇函數(shù)，
∵x≥0時，f（x）==∈[0，1）
∴函數(shù)f（x）的值域?yàn)?（-1，1），故①正確
∵x≥0時，f（x）==為[0，+∞）的單調(diào)增函數(shù)
∴函數(shù)f（x）為R上的單調(diào)增函數(shù)，
∴若x₁≠x₂，則一定有f（x₁）≠f（x₂），故②正確
下面用數(shù)學(xué)歸納法證明③正確
證明：n=1時，命題顯然成立；
假設(shè)n=k時命題成立，即
則n=k+1時，f_k+1（x）=f（f_k（x））===
即n=k+1時命題成立
∴對任意n∈N^*恒成立
故答案為3
點(diǎn)評：本題考查了函數(shù)的值域的求法，函數(shù)單調(diào)性的定義及判斷方法，函數(shù)與數(shù)列的綜合，解題時要緊緊抓住函數(shù)的奇偶性解決問題