已知四面體O-ABC中，M、N分別是OA、BC的中點，P是MN上（靠近點M）的三等分點，其中OA=OB=OC=1，∠AOC=∠AOB=∠BOC=60°，求異面直線OP與AB所成角的余弦值．（用向量法）
考點：異面直線及其所成的角
專題：空間角
分析：由題意可得
AB
=
OB
-
OA
，
OP
=
1
3
OA
+
1
6
OB
+
1
6
OC
，可得
AB
•
OP
和|
AB
|以及|
OP
|的值，代入cos＜
AB
，
OP
＞=
AB
•
OP
|
AB
||
OP
|
計算可得．
解答： 解：由題意可得
AB
=
OB
-
OA
，
OP
=
OM
+
MP
=
1
2
OA
+
1
3
MN

=
1
2
OA
+
1
3
•
1
2
（
MB
+
MC
）
=
1
2
OA
+
1
6
（
OB
-
1
2
OA
+
OC
-
1
2
OA
）
=
1
3
OA
+
1
6
OB
+
1
6
OC

∴
AB
•
OP
=（
OB
-
OA
）•（
1
3
OA
+
1
6
OB
+
1
6
OC
）
=-
1
3
OA
2+
1
6
OA
•
OB
+
1
6
OB
•
OC
-
1
6
OA
•
OC
+
1
6
OB
2
=-
1
3
+
1
6
×1×1×
1
2
+
1
6
×1×1×
1
2
-
1
6
×1×1×
1
2
+
1
6
=-
1
12

∴|
AB
|=
(
OB
-
OA
)2
=
OB
2+
OA
2-2
OA
•
OB
=
1+1-2×1×1×
1
2
=1，
同理可得|
OP
|=
(
1
3
OA
+
1
6
OB
+
1
6
OC
)2
=
11
6

∴cos＜
AB
，
OP
＞=
AB
•
OP
|
AB
||
OP
|
=
-
1
12
1×
11
6
=-
11
22

∴異面直線OP與AB所成角的余弦值為
11
22
點評：本題考查異面直線所成得角，涉及向量的數(shù)量積和模長公式，屬中檔題．
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

給出下列命題：
①函數(shù)y=f（x）的圖象與函數(shù)y=f（x-2）+3的圖象一定不會重合；
②函數(shù)y=log
1
2
（-x2+2x+3）的單調(diào)區(qū)間為（1，+∞）；
③
∫
0
-π
（cosx+ex）dx=1-e-π；
④雙曲線的漸近線方程是y=±
3
4
x，則該雙曲線的離心率是
5
4
．
其中正確命題的序號是
 
（把你認為正確命題的序號都填上）．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知△ABC面積為1，點P滿足
AP
=
1
5
AB
+
1
4
AC
，在△ABC內(nèi)任取M，那么落入△BPC內(nèi)的概率為（　�。�
A、
1
2
B、
1
4
C、
9
20
D、
11
20

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

用二分法求方程x3-2=0的近似值（精度為0.1）

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知全集U為實數(shù)集，集合A={x|x2-2x-3＜0}，B={x|y=ln（1-x）}，則圖中陰影部分表示的集合為（　�。�
A、{x|1≤x＜3}
B、{x|x＜3}
C、{x|x≤-1}
D、{x|-1＜x＜1}

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

如圖，在四面體ABCD中，E、F分別是AD、BC中，AB=CD=2，EF=
2
．求異面直線中AB、CD所成的角．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知△ABC中滿足A-C=90°，a+c=
2
b，求角C．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

討論函數(shù)y=
lnx
x
在區(qū)間上的單調(diào)性．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知
a
=（1，0），
b
=（1，1），
c
=（-1，0），求λ和μ，使
c
=λ
a
+μ
b
．

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