（本小題滿分12分）如圖：已知正方體ABCD—A1B1C1D1，過BD1的平面分別交棱AA1和棱CC1于E、F兩點。（1）求證：A1E=CF； （2）若E、F分別是棱AA1和棱CC1的中點，求證：平面EBFD1⊥平面BB1D1。
(Ⅰ)見解析   (Ⅱ)  見解析
（1）由題知，平面EBFD1與平面BCC1B1交于
BF、與平面ADD1A交于ED1…………1分
又平面BCC1B1//平面ADD1A1∴D1E//BF …………2分
同理BE//D1F  ………………3分∴四邊形EBFD1為平行四邊形
∴D1E="BF " ……4分∵A1D1==CB，D1E=BF，∠D1A1E=∠BCF=90°
∴≌Rt△CBF∴A1E="CF  " ………………6分
（2）∵四邊形EBFD1是平行四邊形。AE=A1E，F(xiàn)C=FC1，
∴Rt△EAB≌Rt△FCB，
∴BE=BF，故四邊形EBFD1為菱形。………………8分
連結(jié)EF、BD1、A1C1�！咚倪呅蜤BFD1為菱形，∴EF⊥BD1，
在正方體ABCD—A1B1C1D1中，有B1D1⊥A1C1，B1D⊥A1A
∴B1D1⊥平面A1ACC1。  ………………10分
又EF平面A1ACC1，∴EF⊥B1D1。又B1D1∩BD1=D1，
∴EF⊥平面BB1D1。
又EF平面EBFD1，故平面EBFD1⊥平面BB1D1。 ………………12分
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：解答題

在棱長AB=AD=2，AA1=3的長方體AC1中，點E是平面BCC1B1上動點，點F是CD的中點.
（Ⅰ）試確定E的位置，使D1E⊥平面AB1F；
（Ⅱ）求二面角B1—AF—B的大小.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：解答題

圖4，四棱錐P—ABCD中，ABCD為矩形，△PAD為等腰直角三角形，

∠APD=90°，面PAD⊥面ABCD，且AB=1，AD=2，E、F分別為PC和BD的中點．
（1）證明：EF∥面PAD；
（2）證明：面PDC⊥面PAD．
 

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：解答題

如圖，某建筑物的基本單元可近似地按以下方法構(gòu)作：先在地平面內(nèi)作菱形ABCD，邊長為1，∠BAD＝60°,再在的上方，分別以△與△為底面安裝上相同的正棱錐P－ABD與Q－CBD，∠APB＝90°．
（Ⅰ）求證：PQ⊥BD；
（Ⅱ）求二面角P-BD-Q的余弦值；
（Ⅲ）求點P到平面QBD的距離.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：單選題

在直三棱柱中，，. 已知Ｇ與Ｅ分別為 和的中點，Ｄ與Ｆ分別為線段和上的動點（不包括端點）. 若，則線段的長度的取值范圍為
A．B．C．D．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：填空題

對于四面體ABCD，下列命題正確的是         （寫出所有正確命題的編號）。
①相對棱AB與CD所在的直線異面；
②由頂點A作四面體的高，其垂足是BCD的三條高線的交點；
③若分別作ABC和ABD的邊AB上的高，則這兩條高所在直線異面；
④分別作三組相對棱中點的連線，所得的三條線段相交于一點；
⑤最長棱必有某個端點，由它引出的另兩條棱的長度之和大于最長棱。

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：解答題

如圖，在直四棱柱中，底面ABCD為等腰梯形，AB∥CD,AB="4,BC=CD=2," AA="2, " E、E、F分別是棱AD、AA、AB的中點。               
（Ⅰ）證明：直線∥平面；          
（Ⅱ）求二面角的余弦值

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：解答題

如圖，已知矩形ABCD，M，N分別是AD，BC的中點，且AM=AB，將矩形沿MN折成直二面角，若P點是線段DN上一動點，求P到BM距離的最小值。

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：解答題

在四棱錐中，,,底面, ，直線與底面成角，點分別是的中點．
（１）求二面角的大小；
（２）當(dāng)的值為多少時，為直角三角形.

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