Question

已知橢圓C的對稱中心為原點(diǎn)O，焦點(diǎn)在x軸上，離心率為，且點(diǎn)（1，）在該橢圓上．
（I）求橢圓C的方程；
（II）過橢圓C的左焦點(diǎn)F₁的直線l與橢圓C相交于A，B兩點(diǎn)，若△AOB的面積為，求圓心在原點(diǎn)O且與直線l相切的圓的方程．

Answer 1

【答案】分析：（1）設(shè)出橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，根據(jù)離心率求得a和c關(guān)系，進(jìn)而根據(jù)a²=b²+c²，求得a和b的關(guān)系，把點(diǎn)C坐標(biāo)代入橢圓方程求得a，進(jìn)而求得b，則橢圓方程可得．
（2）先看當(dāng)l與與x軸垂直時(shí)，可求得A，B的坐標(biāo)，進(jìn)而求得三角形AOB的坐標(biāo)，不符合題意；再看直線l斜率存在時(shí)，設(shè)出直線方程，與橢圓方程聯(lián)立消去y，設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），進(jìn)而求得x₁+x₂和x₁x₂的表達(dá)式，進(jìn)而表示出|AB|，進(jìn)而求得圓的半徑后表示出三角形AOB的面積，求得k，進(jìn)而求得圓的半徑，則圓的方程可得．
解答：解：（I）設(shè)橢圓C的方程為，由題意可得，
又a²=b²+c²，所以
因?yàn)闄E圓C經(jīng)過（1，），代入橢圓方程有
解得a=2
所以c=1，b²=4-1=3故橢圓C的方程為．
（Ⅱ）當(dāng)直線l⊥x軸時(shí)，計(jì)算得到：，
，不符合題意．
當(dāng)直線l與x軸不垂直時(shí)，設(shè)直線l的方程為：y=k（x+1），k≠0
由，消去y，得（3+4k²）x²+8k²x+4k²-12=0
顯然△＞0成立，設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
則，
又
=
=
即
又圓O的半徑
所以
化簡，得17k⁴+k²-18=0，即（k²-1）（17k²+18）=0，
解得（舍）
所以，，故圓O的方程為：．
點(diǎn)評：本題主要考查了橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，涉及了橢圓與直線，圓的關(guān)系，綜合性強(qiáng)．