Question

（2013•天津一模）已知函數(shù)f（x）=ax³+x²-ax，其中a，x∈R．
（ I）當a=1時，求函數(shù)f（x）的單調(diào)遞減區(qū)間；
（Ⅱ）若函數(shù)f（x）在區(qū)間（1，2）上不是單調(diào)函數(shù)，求實數(shù)a的取值范圍；
（Ⅲ）若x∈[0，3]時，函數(shù)f（x）在x=0處取得最小值，求實數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析：（Ⅰ）把a=1代入函數(shù)解析式，求導后由導函數(shù)小于0得到原函數(shù)的減區(qū)間；
（Ⅱ）把函數(shù)f（x）在區(qū)間（1，2）上不是單調(diào)函數(shù)轉(zhuǎn)化為函數(shù)的導函數(shù)在區(qū)間（1，2）上有不重復的零點，根據(jù)導函數(shù)有零點，分離變量后求出函數(shù)的值域，則a的范圍可求；
（Ⅲ）由x∈[0，3]時，函數(shù)f（x）在x=0處取得最小值，轉(zhuǎn)化為x∈[0，3]時，ax²+x-a≥0恒成立，分類討論即可求得實數(shù)a的取值范圍．

解答：解：（Ⅰ）當a=1時，f（x）=x³+x²-x．f'（x）=3x²+2x-1，
由f'（x）＜0，即3x²+2x-1＜0，得-1＜x＜

1

3

，
即當a=1時，函數(shù)f（x）的單調(diào)遞減區(qū)間為(-1，

1

3

)．
（Ⅱ）由f'（x）=3ax²+2x-a．
要使函數(shù)f（x）在區(qū)間（1，2）上不是單調(diào)函數(shù)，
則方程f'（x）=0在區(qū)間（1，2）內(nèi)有不重復的零點，
而△=4+12a²＞0，由3ax²+2x-a=0，得a（3x²-1）=-2x
∵x∈（1，2），∴（3x²-1）≠0，∴a=-

2x

3x2-1

；
令u=-

2x

3x2-1

（x∈（1，2）），則u=-

2

3x- 1 x

，
∴u=-

2x

3x2-1

在區(qū)間（1，2）上是單調(diào)遞增函數(shù)，其值域為(-1，-

4

11

)，
故a的取值范圍是(-1，-

4

11

)．
（Ⅲ）由題意可知，當x∈[0，3]時，f（x）≥f（0）=0恒成立，
即x∈[0，3]時，ax²+x-a≥0恒成立．
記h（x）=ax²+x-a
當a=0時，h（x）=x≥0在x∈[0，3]時恒成立，符合題意；
當a＞0時，由于h（0）=-a＜0，則不符合題意；
當a＜0時，由于h（0）=-a＞0，則只需h（3）=8a+3≥0，得a≥-

3

8

，
即-

3

8

≤a＜0．
綜上，-

3

8

≤a≤0．

點評：本題考查利用導數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)最值的應用，考查運算求解能力，推理論證能力；考查化歸與轉(zhuǎn)化思想．對數(shù)學思維的要求比較高，有一定的探索性．綜合性強，難度大，是高考的重點．