Question

2．下列命題中的假命題是（　　）

• A． ?x∈R，3^x＞0
• B． ?x₀∈R，lgx₀=0
• C． $?x∈（{0，\frac{π}{2}}），x＞sinx$
• D． $?{x_0}∈R，sin{x_0}+cos{x_0}=\sqrt{3}$

Answer 1

分析 A，由指數函數y=3^x的值域為（0，+∞），可判定A；
B，當x₀=1，lgx₀=0；
C，構造函數f（x）=x-sinx，f′（x）=1-cosx≥0恒成立，∴f（x）=x-sinx在R上單調遞增，且f（0）=0，∴x∈（0，$\frac{π}{2}）$時，x＞sinx，
D，sinx+cosx=$\sqrt{2}sin（x+\frac{π}{4}）≤\sqrt{2}$．

解答 解：對于A，由指數函數y=3^x的值域為（0，+∞），可判定A正確；
對于B，當x₀=1，lgx₀=0，故正確；
對于C，構造函數f（x）=x-sinx，f′（x）=1-cosx≥0恒成立，∴f（x）=x-sinx在R上單調遞增，且f（0）=0，∴x∈（0，$\frac{π}{2}）$時，x＞sinx，故正確，
對于D，sinx+cosx=$\sqrt{2}sin（x+\frac{π}{4}）≤\sqrt{2}$，故錯．
故選：D．

點評 本題考查了命題真假的判定，屬于基礎題．