Question

如圖，平面ABDE⊥平面ABC，△ABC是等腰直角三角形，AC=BC=4，四邊形ABDE是直角梯形，BD∥AE，BD⊥BA，，O、M分別為CE、AB的中點(diǎn)，求直線CD和平面ODM所成角的正弦值．

Answer 1

【答案】分析：以C為原點(diǎn)，分別以CA，CB為x，y軸，以過點(diǎn)C且與平面ABC垂直的直線為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，求出與的坐標(biāo)，設(shè)平面ODM的法向量n=（x，y，z），則由，且建立兩等式關(guān)系，求出x、y、z，設(shè)直線CD和平面ODM所成角為θ，利用sinθ=|cos＜，＞|進(jìn)行求解．
解答：解：∵DB⊥BA，又∵面ABDE⊥面ABC，面ABDE∩面ABC=AB，DB?面ABDE，
∴DB⊥面ABC，∵BD∥AE，∴EA⊥面ABC，
如圖所示，以C為原點(diǎn)，分別以CA，CB為x，y軸，
以過點(diǎn)C且與平面ABC垂直的直線為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，
∵AC=BC=4，
∴設(shè)各點(diǎn)坐標(biāo)為C（0，0，0），A（4，0，0），B（0，4，0），D（0，4，2），E（4，0，4），
則O（2，0，2），M（2，2，0），，，，
設(shè)平面ODM的法向量n=（x，y，z），則由
且可得
令x=2，則y=1，z=1，∴n=（2，1，1），
設(shè)直線CD和平面ODM所成角為θ，則，
∴直線CD和平面ODM所成角的正弦值為．
點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了直線與平面所成的角，以及空間向量，考查空間想象能力、運(yùn)算能力和推理論證能力，屬于中等題．