Question

8．如圖，四棱錐P-ABCD中，側面PAD⊥底面ABCD，AD∥BC，AD⊥DC，AD=DC=3，BC=2，$PD=\sqrt{2}PA=\sqrt{6}$，點F在棱PG上，且FC=2FP，點E在棱AD上，且PA∥平面BEF．
（1）求證：PE⊥平面ABCD；
（2）求二面角P-EB-F的余弦值．

Answer 1

分析 （1）連接AC交EB于點G，推導出PA∥FG，從而CG=2GA，由△GBC～△GEA，得EA=1，ED=2，推導出PE⊥AD，由此能證明PE⊥平面ABCD．
（2）以EA，EB，EP所在直線分別為x軸，y軸，z軸建立空間直角坐標系，利用向量法能求出二面角P-EB-F的余弦值．

解答 證明：（1）如圖連接AC交EB于點G，
因為PA∥平面EFB，所以PA∥FG，
由FC=2FP，所以CG=2GA，
又△GBC～△GEA，所以BC=2EA，
所以EA=1，ED=2，
又因為PA²+PD²=AD²，所以△APD是直角三角形，
又$\frac{DE}{EA}={（\frac{PD}{PA}）^2}$，所以PE⊥AD，
又因為側面PAD⊥底面ABCD，
所以PE⊥平面ABCD．
解：（2）因為DE=BC，DE∥BC，所以BE∥CD，
又EA⊥EB，如圖，以EA，EB，EP所在直線分別為x軸，y軸，z軸建立空間直角坐標系，
則A（1，0，0），B（0，3，0），C（-2，3，0），
$PE=\sqrt{P{A^2}-A{E^2}}=\sqrt{2}$，所以$P（0，0，\sqrt{2}）$，
所以$\overrightarrow{EF}=\overrightarrow{EP}+\frac{1}{3}\overrightarrow{PC}=（0，0，\sqrt{2}）+（-\frac{2}{3}，1，-\frac{{\sqrt{2}}}{3}）$=$（-\frac{2}{3}，1，\frac{{2\sqrt{2}}}{3}）$，
設平面EFB的法向量為$\overrightarrow n=（x，y，z）$，
則$\overrightarrow n⊥\overrightarrow{EF}⇒-\frac{2}{3}x+y+\frac{{2\sqrt{2}}}{3}z=0$，$\overrightarrow n⊥\overrightarrow{EB}⇒y=0$，
令z=1，則$x=\sqrt{2}$，所以$\overrightarrow n=（\sqrt{2}，0，1）$，
又因為平面PEB的法向量$\overrightarrow{EA}=（1，0，0）$，
所以$cos＜\overrightarrow n，\overrightarrow{EA}＞=\frac{{\sqrt{2}}}{{1×\sqrt{2+1}}}=\frac{{\sqrt{6}}}{3}$，
即所求二面角的余弦值是$\frac{{\sqrt{6}}}{3}$．

點評 本題考查線面垂直的證明，考查二面角的余弦值的求法，考查推理論證能力、運算求解能力、空間想象能力，考查化歸與轉化思想、數(shù)形結合思想，是中檔題．