Question

8．已知直線l：y=2x+2，曲線C：y=lnx+x，直線x=a，（a＞0）交直線l于點A，交曲線C于點B，則|AB|的最小值為3．

Answer 1

分析 設A（a，y₁），B（a，y₂），則y₁=2a+2，y₂=lna+a，求得|AB|，令y=lna-a-2，利用導數求出函數y的最大值，即可得到|AB|的最小值．

解答 解：設A（a，y₁），B（a，y₂），
則y₁=2a+2，y₂=lna+a，
∴|AB|=|y₂-y₁|=|lna+a-2a-2|=|lna-a-2|
令y=lna-a-2，
則y′=$\frac{1}{a}$-1，
∴函數y在（0，1）上單調遞增，在（1，+∞）上單調遞減，
∴a=1時，函數y取得最大值ln1-1-2=-3，即y≤-3．
則|AB|≥3，即有|AB|的最小值為3．
故答案為：3．

點評 本題考查導數知識的運用，考查學生分析解決問題的能力，正確求導確定函數的單調性是關鍵．