Question

15．已知函數(shù)f（x）=2sin$（ω\;x-\frac{π}{6}$）•cosω$x+\frac{1}{2}$（其中ω＞0）的最小正周期為π．
（Ⅰ） 求ω的值；
（Ⅱ） 將函數(shù)y=f（x）的圖象向左平移$\frac{π}{6}$個(gè)單位，再將所得圖象上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)為原來(lái)的2倍，縱坐標(biāo)不變，得到函數(shù)g（x）的圖象．求函數(shù)g（x）在[-π，π]上零點(diǎn)．

Answer 1

分析 （Ⅰ）利用三角函數(shù)的恒等變換化簡(jiǎn)函數(shù)的解析式，在另一棟正弦函數(shù)的周期性，得出結(jié)論．
（Ⅱ）利用y=Asin（ωx+φ）的圖象變換規(guī)律求得函數(shù)g（x）的解析式，再利用正弦函數(shù)的零點(diǎn)，求得函數(shù)g（x）的零點(diǎn)．

解答 解：（Ⅰ）函數(shù) $f（x）=2sin（ωx-\frac{π}{6}）•cosωx+\frac{1}{2}=\sqrt{3}sinωx•cosωx-{cos^2}ωx+\frac{1}{2}$
=$\frac{{\sqrt{3}}}{2}sin2ωx-\frac{1}{2}cos2ωx=sin（2ωx-\frac{π}{6}）$．
由最小正周期$T=\frac{2π}{2ω}=π$，得ω=1．
（Ⅱ） 由（Ⅰ）知$f（x）=sin（2x-\frac{π}{6}）$，將函數(shù)f（x）的圖象向左平移$\frac{π}{6}$個(gè)單位，
得到圖象的解析式$h（x）=sin[2（x+\frac{π}{6}）-\frac{π}{6}]=sin（2x+\frac{π}{6}）$，
將所得圖象上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)為原來(lái)的2倍，得到$g（x）=sin（x+\frac{π}{6}）$．
由$x+\frac{π}{6}=kπ，k∈Z$，得$x=kπ-\frac{π}{6}$，
故當(dāng)x∈[-π，π]時(shí)，函數(shù)g（x）的零點(diǎn)為$-\frac{π}{6}$和$\frac{5π}{6}$．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查三角函數(shù)的恒等變換及化簡(jiǎn)求值，正弦函數(shù)的周期性，y=Asin（ωx+φ）的圖象變換規(guī)律，正弦函數(shù)的零點(diǎn)，屬于中檔題．