Question

已知平面上一定點C（-1，0）和一定直線l：x=-4．P為該平面上一動點，作PQ⊥l，垂足為Q，．
（1）問點P在什么曲線上，并求出該曲線方程；
（2）點O是坐標(biāo)原點，A、B兩點在點P的軌跡上，若，求λ的取值范圍．

Answer 1

【答案】分析：（1）直接根據(jù)，，設(shè)出點P的坐標(biāo)整理即可得到點P在什么曲線上，并求出該曲線方程；
（2）直接設(shè)A、B兩點的坐標(biāo)，根據(jù)，得到A、B、C三點共線．且λ＞0；再把A的坐標(biāo)用B的坐標(biāo)表示出來；結(jié)合A、B兩點在點P的軌跡上以及橢圓上的點的范圍限制即可求出λ的取值范圍．
解答：解：（1）由，得：，…（2分）
設(shè)P（x，y），則（x+4）²-4[（x+1）²+y²]=0，化簡得：，…（4分）
點P在橢圓上，其方程為．…（6分）
（2）設(shè)A（x₁，y₁）、B（x₂，y₂），
由得：，
所以，A、B、C三點共線．且λ＞0，
得：（x₁+1，y₁）+λ（x₂+1，y₂）=0，即：…（8分）
因為，所以①…（9分）
又因為，所以②…（10分）
由①-②得：，化簡得：，…（12分）
因為-2≤x₂≤2，所以．
解得：所以λ的取值范圍為．…（14分）
點評：本題主要考查直線與圓錐曲線以及平面向量的綜合問題．解決第二問的關(guān)鍵在于由，得到A、B、C三點共線．且λ＞0．