Question

17．PM2.5是指大氣中直徑小于或等于2.5微米的顆粒物，也稱(chēng)為可入肺顆粒物．我國(guó)PM2.5標(biāo)準(zhǔn)采用世衛(wèi)組織設(shè)定的最寬限值，即PM2.5日均值在35微克/立方米以下空氣質(zhì)量為一級(jí)．在35微克/立方米～75微克/立方米之間空氣質(zhì)量為二級(jí)．在75微克/立方米以上空氣質(zhì)量為超標(biāo)．某試點(diǎn)城市環(huán)保局從該市市區(qū)2016年全年每天的PM2.5監(jiān)測(cè)數(shù)據(jù)中隨機(jī)的抽取15天的數(shù)據(jù)作為樣本，監(jiān)測(cè)值如莖葉圖所示（十位為莖，個(gè)位為葉）．
（1）以這15天的PM2.5日均值來(lái)估計(jì)一年的空氣質(zhì)量情況，則一年（按360天計(jì)算）中平均有多少天的空氣質(zhì)量達(dá)到一級(jí)或二級(jí)．
（2）從這15天的數(shù)據(jù)中任取三天數(shù)據(jù)，記ξ表示抽到PM2.5監(jiān)測(cè)數(shù)據(jù)超標(biāo)的天數(shù)，求ξ的分布列．

Answer 1

分析 （1）求出抽查的15中空氣質(zhì)量為一級(jí)或二級(jí)的天數(shù)，根據(jù)比例得出結(jié)論；
（2）利用超幾何分布的概率公式概率，得出分布列．

解答 解：（1）由莖葉圖可知抽查的15天中，PM2.5日均值小于或等于75微克/立方米的天數(shù)為10天，
∴一年（按360天計(jì)算）中空氣質(zhì)量達(dá)到一級(jí)或二級(jí)的天數(shù)大約為360×$\frac{10}{15}$=240天．
（2）在抽取的15天中有5天的PM2.5監(jiān)測(cè)數(shù)據(jù)超標(biāo)，
∴ξ的可能取值為0，1，2，3
P（ξ=0）=$\frac{{C}_{10}^{3}}{{C}_{15}^{3}}$=$\frac{24}{91}$，P（ξ=1）=$\frac{{{C}_{5}^{1}C}_{10}^{2}}{{C}_{15}^{3}}$=$\frac{45}{91}$，P（ξ=2）=$\frac{{{C}_{5}^{2}C}_{10}^{1}}{{C}_{15}^{3}}$=$\frac{20}{91}$，P（ξ=3）=$\frac{{C}_{5}^{3}}{{C}_{15}^{3}}$=$\frac{2}{91}$，
∴ξ的分布列為：

ξ	0	1	2	3
P	$\frac{24}{91}$	$\frac{45}{91}$	$\frac{20}{91}$	$\frac{2}{91}$

點(diǎn)評(píng) 本題考查了莖葉圖，離散型隨機(jī)變量的分布列，屬于中檔題．