Question

已知橢圓E：

x2

8

+

y2

4

=1．
（1）直線l：y=x+m與橢圓E有兩個(gè)公共點(diǎn)，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．
（2）以橢圓E的焦點(diǎn)F₁、F₂為焦點(diǎn)，經(jīng)過直線l′：x+y=9上一點(diǎn)P作橢圓C，當(dāng)C的長(zhǎng)軸最短時(shí)，求C的方程．

Answer 1

考點(diǎn)：直線與圓錐曲線的綜合問題

專題：綜合題,圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：（1）直線l與橢圓E有兩個(gè)公共點(diǎn)的條件是：方程組

y=x+m x2 8 + y2 4 =1

有兩組不同解，消去y，得3x²+4mx+2m²-8=0，利用判別式大于0，即可求實(shí)數(shù)m的取值范圍．
（2）作點(diǎn)F₁（-2，0）關(guān)于l′的對(duì)稱點(diǎn)F₁′（9，11）．設(shè)P是l′與橢圓的公共點(diǎn)，則2a=|PF₁|+|PF₂|=|PF′₁|+|PF₂|≥|F′₁F₂|=

170

，即可求當(dāng)C的長(zhǎng)軸最短時(shí)，C的方程．

解答： 解：（1）直線l與橢圓E有兩個(gè)公共點(diǎn)的條件是：
方程組

y=x+m x2 8 + y2 4 =1

有兩組不同解，
消去y，得3x²+4mx+2m²-8=0．
∴△=16m²-12（2m²-8）＞0，
-2

3

＜m＜2

3

．
∴實(shí)數(shù)m的取值范圍是（-2

3

，2

3

）．
（2）依題意，F(xiàn)₁（-2，0）、F₂（2，0）．
作點(diǎn)F₁（-2，0）關(guān)于l′的對(duì)稱點(diǎn)F₁′（9，11）．
設(shè)P是l′與橢圓的公共點(diǎn)，則2a=|PF₁|+|PF₂|=|PF′₁|+|PF₂|≥|F′₁F₂|=

170

．
∴（2a）_min=

170

，
此時(shí)，a²=

170

4

=

85

2

，b²=a²-c²=

77

2

．
∴長(zhǎng)軸最短的橢圓方程是

x2

85 2

+

y2

77 2

=1．

點(diǎn)評(píng)：本題考查直線與橢圓的位置關(guān)系，考查橢圓方程，考查學(xué)生分析解決問題的能力，屬于中檔題．