Question

16．已知等差數(shù)列{a_n}前n項(xiàng)和為S_n，且S_n=n²．
（1）求通項(xiàng)公式a_n；
（2）若b_n=$\frac{1}{{a}_{n+1}{a}_{n}}$，求數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和T_n．

Answer 1

分析 （1）設(shè)等差數(shù)列{a_n}的公差為d，利用S_n=n²，可得a₁=S₁=1，a₁+a₂=4，解出即可得出．
（2）b_n=$\frac{1}{（2n-1）（2n+1）}$=$\frac{1}{2}（\frac{1}{2n-1}-\frac{1}{2n+1}）$，利用“裂項(xiàng)求和”方法即可得出．

解答 解：（1）設(shè)等差數(shù)列{a_n}的公差為d，∵S_n=n²，∴a₁=S₁=1，a₁+a₂=2²=4，解得a₁=1，a₂=3．
∴d=a₂-a₁=2，∴a_n=1+2（n-1）=2n-1．
（2）b_n=$\frac{1}{{a}_{n+1}{a}_{n}}$=$\frac{1}{（2n-1）（2n+1）}$=$\frac{1}{2}（\frac{1}{2n-1}-\frac{1}{2n+1}）$，
∴數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和T_n=$\frac{1}{2}[（1-\frac{1}{3}）$+$（\frac{1}{3}-\frac{1}{5}）$+…+$（\frac{1}{2n-1}-\frac{1}{2n+1}）]$
=$\frac{1}{2}（1-\frac{1}{2n+1}）$
=$\frac{n}{2n+1}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了等差數(shù)列的通項(xiàng)公式及其求和公式、“裂項(xiàng)求和”方法，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．