Question

如果函數(shù)的定義域?yàn)镽，對(duì)于定義域內(nèi)的任意，存在實(shí)數(shù)使得成立，則稱此函數(shù)具有“性質(zhì)”。

(1)判斷函數(shù)是否具有“性質(zhì)”，若具有“性質(zhì)”，求出所有的值；若不具有“性質(zhì)”，說明理由；

(2)已知具有“性質(zhì)”，且當(dāng)時(shí)，求在上有最大值；

(3)設(shè)函數(shù)具有“性質(zhì)”，且當(dāng)時(shí)，.若與交點(diǎn)個(gè)數(shù)為2013，求的值.

 

Answer 1

(1) ，(2) 當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，， (3) .

【解析】

試題分析：(1)新定義問題，必須從定義出發(fā),實(shí)際是對(duì)定義條件的直譯. 由得 ，(2)由 性質(zhì)知函數(shù)為偶函數(shù). ∴當(dāng)時(shí)，∵在單調(diào)增，∴時(shí)，，當(dāng)時(shí)，∵在單調(diào)減，在上單調(diào)增，又，∴時(shí)， ，當(dāng)時(shí)，∵在單調(diào)減，在上單調(diào)增，又，∴時(shí)，. (3) ∵函數(shù)具有“性質(zhì)” ∴∴∴函數(shù)是以2為周期的函數(shù). 當(dāng)時(shí)，為偶函數(shù)，因此易得函數(shù)是以1為周期的函數(shù).結(jié)合圖像得: ①當(dāng)時(shí)，要使得與有2013個(gè)交點(diǎn)，只要與在區(qū)間有2012個(gè)交點(diǎn)，而在內(nèi)有一個(gè)交點(diǎn)∴過，從而得,②當(dāng)時(shí)，同理可得,③當(dāng)時(shí)，不合題意, 綜上所述.

(1)由得

∴

∴函數(shù)具有“性質(zhì)”，其中 2分

(2) ∵具有“性質(zhì)”

∴

設(shè)，則，∴

∴ 4分

當(dāng)時(shí)，∵在單調(diào)增，∴時(shí)， 5分

當(dāng)時(shí)，∵在單調(diào)減，在上單調(diào)增

又，∴時(shí)， 6分

當(dāng)時(shí)，∵在單調(diào)減，在上單調(diào)增

又，∴時(shí)， 7分

綜上得當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)， 8分

(3) ∵函數(shù)具有“性質(zhì)”

∴

∴，

∴函數(shù)是以2為周期的函數(shù) 9分

設(shè)，則，

再設(shè)

當(dāng)，則

當(dāng)，則

∴對(duì)于，都有

而

∴

∴函數(shù)是以1為周期的函數(shù) 12分

①當(dāng)時(shí)，要使得與有2013個(gè)交點(diǎn)，只要與在區(qū)間有2012個(gè)交點(diǎn)，而在內(nèi)有一個(gè)交點(diǎn)

∴過，從而得 14分

②當(dāng)時(shí)，同理可得

③當(dāng)時(shí)，不合題意

綜上所述 16分

考點(diǎn)：函數(shù)奇偶性，函數(shù)周期，函數(shù)圖像