Question

如果函數(shù)的定義域為R，對于定義域內(nèi)的任意，存在實數(shù)使得成立，則稱此函數(shù)具有“性質(zhì)”。

(1)判斷函數(shù)是否具有“性質(zhì)”，若具有“性質(zhì)”，求出所有的值；若不具有“性質(zhì)”，說明理由；

(2)已知具有“性質(zhì)”，且當(dāng)時，求在上有最大值；

(3)設(shè)函數(shù)具有“性質(zhì)”，且當(dāng)時，.若與交點個數(shù)為2013，求的值.

 

Answer 1

(1) ，(2) 當(dāng)時，，當(dāng)時，， (3) .

【解析】

試題分析：(1)新定義問題，必須從定義出發(fā),實際是對定義條件的直譯. 由得 ，(2)由 性質(zhì)知函數(shù)為偶函數(shù). ∴當(dāng)時，∵在單調(diào)增，∴時，，當(dāng)時，∵在單調(diào)減，在上單調(diào)增，又，∴時， ，當(dāng)時，∵在單調(diào)減，在上單調(diào)增，又，∴時，. (3) ∵函數(shù)具有“性質(zhì)” ∴∴∴函數(shù)是以2為周期的函數(shù). 當(dāng)時，為偶函數(shù)，因此易得函數(shù)是以1為周期的函數(shù).結(jié)合圖像得: ①當(dāng)時，要使得與有2013個交點，只要與在區(qū)間有2012個交點，而在內(nèi)有一個交點∴過，從而得,②當(dāng)時，同理可得,③當(dāng)時，不合題意, 綜上所述.

(1)由得

∴

∴函數(shù)具有“性質(zhì)”，其中 2分

(2) ∵具有“性質(zhì)”

∴

設(shè)，則，∴

∴ 4分

當(dāng)時，∵在單調(diào)增，∴時， 5分

當(dāng)時，∵在單調(diào)減，在上單調(diào)增

又，∴時， 6分

當(dāng)時，∵在單調(diào)減，在上單調(diào)增

又，∴時， 7分

綜上得當(dāng)時，，當(dāng)時， 8分

(3) ∵函數(shù)具有“性質(zhì)”

∴

∴，

∴函數(shù)是以2為周期的函數(shù) 9分

設(shè)，則，

再設(shè)

當(dāng)，則

當(dāng)，則

∴對于，都有

而

∴

∴函數(shù)是以1為周期的函數(shù) 12分

①當(dāng)時，要使得與有2013個交點，只要與在區(qū)間有2012個交點，而在內(nèi)有一個交點

∴過，從而得 14分

②當(dāng)時，同理可得

③當(dāng)時，不合題意

綜上所述 16分

考點：函數(shù)奇偶性，函數(shù)周期，函數(shù)圖像