Question

【題目】已知函數(shù)f（x）=ex﹣ax﹣1，（a為實數(shù)），g（x）=lnx﹣x
（1）討論函數(shù)f（x）的單調區(qū)間；
（2）求函數(shù)g（x）的極值；
（3）求證：lnx＜x＜ex（x＞0）

Answer 1

【答案】
（1）解：由題意得f′（x）=ex﹣a

當a≤0時，f′（x）＞0恒成立，函數(shù)f（x）在R上單調遞增，

當a＞0時，由f′（x）＞0可得x＞lna，由f′（x）＜0可得x＜lna，

故函數(shù)f（x）在（lna，+∞）上單調遞增，在（﹣∞，lna）上單調遞減

（2）解：函數(shù)g（x）的定義域為（0，+∞）， ，

由g′（x）＞0可得0＜x＜1；由g′（x）＜0，可得x＞1．

所以函數(shù)g（x）在（0，1）上單調遞增，在（1，+∞）上單調遞減，

故函數(shù)g（x）在x=1取得極大值，其極大值為ln1﹣1=﹣1

（3）證明：當a=1時，f（x）=ex﹣x﹣1，

由（1）知，f（x）=ex﹣x﹣1在x=ln1=0處取得極小值，也是最小值，

且f（x）min=0，故ex﹣x﹣1＞0（x＞0），得到ex＞x+1（x＞0）．

由（2）知，g（x）=lnx﹣x在x=l處取得最大值，且g（x）max=﹣1，

故lnx﹣x≤﹣1（x＞0），得到lnx≤x﹣1＜x（x＞0）．

綜上lnx＜x＜ex（x＞0）．

【解析】（1）求導數(shù)得到f′（x）=ex﹣a，然后討論a的符號，從而可判斷導數(shù)符號，這樣即可求出每種情況下函數(shù)f（x）的單調區(qū)間；（2）可先求出函數(shù)g（x）的定義域，然后求導，判斷導數(shù)的符號，從而根據(jù)極值的概念求出函數(shù)g（x）的極值；（3）可知a=1時，f（x）在x=0處取得極小值，從而可得出ex＞x+1，而由（2）可知g（x）在x=1處取得極大值，也是最大值﹣1，這樣即可得出lnx≤x﹣1＜x，這樣便可得出要證的結論．
【考點精析】解答此題的關鍵在于理解利用導數(shù)研究函數(shù)的單調性的相關知識，掌握一般的,函數(shù)的單調性與其導數(shù)的正負有如下關系： 在某個區(qū)間內，(1)如果，那么函數(shù)在這個區(qū)間單調遞增；(2)如果，那么函數(shù)在這個區(qū)間單調遞減，以及對函數(shù)的極值與導數(shù)的理解，了解求函數(shù)的極值的方法是:（1）如果在附近的左側,右側,那么是極大值（2）如果在附近的左側,右側,那么是極小值．