Question

如圖，底面是正方形的四棱錐P-ABCD，平面PCD⊥平面ABCD，PC=PD=CD=2．
（Ⅰ）求證：PD⊥BC；
（Ⅱ）求直線PA與平面ABCD所成的角的正弦值．

Answer 1

考點：直線與平面所成的角,空間中直線與直線之間的位置關(guān)系

專題：空間位置關(guān)系與距離

分析：（Ⅰ）由已知得BC⊥CD，從而BC⊥平面PCD，由此能證明BC⊥PD．
（Ⅱ）取DC中點O，連結(jié)OA，OP，由已知得∠PAO是直線PA與平面ABCD所成的角，由此能求出直線PA與平面ABCD所成的角的正弦值．

解答： （Ⅰ）證明：∵平面PCD⊥平面ABCD，
又平面PCD∩平面ABCD=CD，BC⊥CD，
∴BC⊥平面PCD，
∵PD?平面PCD，∴BC⊥PD．
（Ⅱ）解：取DC中點O，連結(jié)OA，OP，
∵PC=PD=CD=2，
∴PO⊥CD，且PO=

3

，
∵底面是正方形的四棱錐P-ABCD，平面PCD⊥平面ABCD，
∴PO⊥底面ABCD，AO=

4+1

=

5

，AP=

5+3

=2

2

，
∴∠PAO是直線PA與平面ABCD所成的角，
sin∠PAO=

PO

AP

=

3

2 2

=

6

4

，
∴直線PA與平面ABCD所成的角的正弦值為

6

4

．

點評：本題考查異面直線垂直的證明，考查直線與平面所成角的正弦值的求法，是中檔題，解題時要認真審題，注意空間思維能力的培養(yǎng)．