Question

15．已知雙曲線的漸近線方程為y=±$\frac{3}{4}$x，其圖象過點(diǎn)（4，3$\sqrt{2}}$），F(xiàn)₁，F(xiàn)₂是其兩個(gè)焦點(diǎn)，若雙曲線上的點(diǎn)P滿足|PF₁|=7，則|PF₂|=13．

Answer 1

分析 根據(jù)雙曲線的漸近線方程，利用待定系數(shù)法求出雙曲線的方程，判斷點(diǎn)P的位置，利用雙曲線的定義進(jìn)行求解即可．

解答 解：∵雙曲線的漸近線方程為y=±$\frac{3}{4}$x，
∴設(shè)雙曲線方程為$\frac{{x}^{2}}{16}-\frac{{y}^{2}}{9}$=λ，（λ≠0）
∵其圖象過點(diǎn)（4，3$\sqrt{2}}$），
∴λ=$\frac{16}{16}-\frac{18}{9}$=1-2=-1，
則$\frac{{x}^{2}}{16}-\frac{{y}^{2}}{9}$=-1，
即$\frac{{y}^{2}}{9}$-$\frac{{x}^{2}}{16}$=1，
則a=3，b=4，c=5，
∵|PF₁|=7＜a+c=8，
∴點(diǎn)P在雙曲線的上支，
則|PF₂|-|PF₁|=2a=6，
則|PF₂|=|PF₁|+6=6+7=13，
故答案為：13．

點(diǎn)評 本題主要考查雙曲線的性質(zhì)的應(yīng)用，根據(jù)條件利用待定系數(shù)法求出雙曲線的方程結(jié)合雙曲線的定義是解決本題的關(guān)鍵．考查學(xué)生的運(yùn)算能力．