Question

已知數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n，滿足S_n=（-1）ⁿa_n+

1

2n

，{S_n}的前n項(xiàng)和為T_n，則T₂₀₁₄=

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：數(shù)列的求和

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：由數(shù)列遞推式求得數(shù)列的通項(xiàng)公式，得到數(shù)列的奇數(shù)項(xiàng)和偶數(shù)項(xiàng)，然后代入T₂₀₁₄，分組后利用等比數(shù)列的求和公式得答案．

解答： 解：由S_n=（-1）ⁿa_n+

1

2n

，
當(dāng)n≥2時，a_n=S_n-S_n-1=（-1）ⁿa_n-（-1）^n-1a_n-1-

1

2n-1

．
n為偶數(shù)時，a_n-1=

1

2n-1

；
n為奇數(shù)時，2a_n+a_n-1=

1

2n-1

，
∴a₂=a₄=…=a₂₀₁₄=0．
∴T₂₀₁₄=（-a₁+a₂-a₃+…+a₂₀₁₄）+（

1

2

+

1

22

+…+

1

22014

）
=-（a₁+a₃+…+a₂₀₁₃）+（

1

2

+

1

22

+…+

1

22014

）
=-（

1

2

+

1

23

+…+

1

22013

）+（

1

2

+

1

22

+…+

1

22014

）
=-

1 2 (1- 1 41007 )

1- 1 4

+

1 2 (1- 1 22014 )

1- 1 2

=

1

3

(1-

1

41007

)．
故答案為：

1

3

(1-

1

41007

)．

點(diǎn)評：本題考查了數(shù)列遞推式，考查了等比數(shù)列的前n項(xiàng)和，訓(xùn)練了數(shù)列的分組求和，是中檔題．