Question

12．已知函數(shù)y=f（x）是定義在R上的偶函數(shù)，對于x∈R，都有f（x+4）=f（x）+f（2）成立，當x₁，x₂∈[0，2]且x₁≠x₂時，都有$\frac{f（{x}_{1}）-f（{x}_{2}）}{{x}_{1}-{x}_{2}}$＜0，給出下列四個命題：
①f（-2）=0；
②直線x=-4是函數(shù)y=f（x）的圖象的一條對稱軸；
③函數(shù)y=f（x）在[4，6]上為增函數(shù)；
④函數(shù)y=f（x）在（-8，6]上有四個零點．
其中所有正確命題的序號為①②④．

Answer 1

分析 ①令x=-2，可得f（-2）=0，從而可判斷①；
②由（1）知f（x+4）=f （x），所以f（x）的周期為4，再利用f（x）是R上的偶函數(shù)，根據(jù)函數(shù)對稱性從而可判斷②；
③依題意知，函數(shù)y=f（x）在[0，2]上為減函數(shù)結合函數(shù)的周期性，從而可判斷③；
④由題意可知，y作出函數(shù)在（-8，6]上有的圖象，從而可判斷④．

解答 解：①：對于任意x∈R，都有f（x+4）=f （x）+f （2）成立，令x=-2，則f（-2+4）=f（-2）+f （2）=f（2），
即f（-2）=0，即①正確；
②：由（1）知f（x+4）=f （x），則f（x）的周期為4，
又∵f（x）是R上的偶函數(shù)，∴f（x+4）=f（-x），
而f（x）的周期為4，則f（x+4）=f（-4+x），f（-x）=f（-x-4），
∴f（-4-x）=f（-4+x），
則直線x=-4是函數(shù)y=f（x）的圖象的一條對稱軸，即②正確；
③：當x₁，x₂∈[0，2]，且x₁≠x₂時，都有$\frac{f（{x}_{1}）-f（{x}_{2}）}{{x}_{1}-{x}_{2}}$＜0，
∴函數(shù)y=f（x）在[0，2]上為減函數(shù)，
而f（x）的周期為4，
∴函數(shù)y=f（x）在[4，6]上為減函數(shù)，故③錯誤；
④：∵f（2）=0，f（x）的周期為4，函數(shù)y=f（x）在[0，2]上為增函數(shù)，
在[-2，0]上為減函數(shù)，
∴作出函數(shù)在（-8，6]上的圖象如圖：
則函數(shù)y=f（x）在（-8，6]上有4個零點，故④正確．
故答案為．①②④

點評 本題考查命題的真假判斷與應用，著重考查函數(shù)的奇偶性、周期性、對稱性及零點的確定的綜合應用，屬于難題．