【題目】已知函數(shù).

(1)討論函數(shù)的單調(diào)性;

(2)當(dāng)m=1時(shí),若方程在區(qū)間上有唯一的實(shí)數(shù)解,求實(shí)數(shù)a的取值范圍;

(3)當(dāng)m>0時(shí),若對(duì)于區(qū)間[1,2]上的任意兩個(gè)實(shí)數(shù)x1,x2,且x1<x2,都有成立,求實(shí)數(shù)m的最大值.

【答案】(1)見解析;(2);(3)

【解析】

(1)求得函數(shù)定義域后對(duì)函數(shù)求導(dǎo),對(duì)分成兩類,討論函數(shù)的單調(diào)區(qū)間.(2)化簡(jiǎn),分離出常數(shù).利用導(dǎo)數(shù)求得函數(shù)的單調(diào)區(qū)間,由此求得的取值范圍.(3)由(1)知函數(shù)上遞增.由此去掉絕對(duì)值化簡(jiǎn)題目所給不等式,構(gòu)造函數(shù),利用上遞減,導(dǎo)數(shù)小于零,分離出常數(shù),再利用導(dǎo)數(shù)求得的最大值.

(1)f(x)的定義域是(0,+∞), f′(x)=x+m+=,

m≥0時(shí),f′(x)>0, 故m≥0時(shí),f(x)在(0,+∞)遞增;

m<0時(shí),方程x2+mx+m=0的判別式為: △=m2-4m>0,

f′(x)>0,解得:x>,

f′(x)<0,解得:0<x<

m<0時(shí),f(x)在(,+∞)遞增,在(0,)遞減;

(2)m=1時(shí),由題意得: x2+x+lnx=x2+ax, 整理得:a=1+,

g(x)=1+,g′(x)=,

g′(x)>0,解得:x∈(0,e),函數(shù)g(x)在(0,e)遞增,

g′(x)<0,解得:x∈(e,+∞),函數(shù)g(x)在(e,+∞)遞減;

若方程f(x)=x2+ax在[e,+∞)上有唯一實(shí)數(shù)根,

須求g(x)在[e,+∞)上的取值范圍,

g(x)≤g(e)=1+,又g(x)=1+>1,(x>e), ∴a的范圍是g()≤a≤1,

即1-e≤a≤1;

(3)由(1)知,當(dāng)m>0時(shí),函數(shù)f(x)在(0,+∞)遞增,

又[1,2](0,+∞),故f(x)在[1,2]遞增;

對(duì)任意x1<x2,都有f(x1)<f(x2), 故f(x2)-f(x1)>0,

由題意得:f(x2)-f(x1)<-, 整理得:f(x2)-<f(x1)-

令F(x)=f(x)-x2=-x2+mx+mlnx, 則F(x)在[1,2]遞減, 故F′(x)=

當(dāng)x∈[1,2]時(shí),-x2+mx+m≤0恒成立,即m≤

h(x)=,則h′(x)=>0, 故h(x)在[1,2]遞增,

h(x)∈[, 故m≤

實(shí)數(shù)的最大值為.

練習(xí)冊(cè)系列答案
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【題目】已知函數(shù).

(1)求的單調(diào)區(qū)間;

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B.最左端只能排甲或乙,最右端不能排甲,則不同的排法共有42

C.甲乙不相鄰的排法種數(shù)為72

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A. ①② B. C. ③④ D. ①②③④

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A. yx具有正的線性相關(guān)關(guān)系

B. 回歸直線過(guò)樣本點(diǎn)的中心(,

C. 若該大學(xué)某女生身高增加1cm,則其體重約增加0.85kg

D. 若該大學(xué)某女生身高為170cm,則可斷定其體重比為58.79kg

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A. 24B. 16C. 8D. 12

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