Question

（本小題滿分12分）
已知橢圓的左、右兩個(gè)焦點(diǎn)分別為F₁、F₂，離心率為，且拋物線與橢圓C₁有公共焦點(diǎn)F₂（1，0）。
（1）求橢圓和拋物線的方程；
（2）設(shè)A、B為橢圓上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，，過原點(diǎn)O作直線AB的垂線OD，垂足為D，求點(diǎn)D為軌跡方程。

Answer 1

（1）橢圓的方程為=1，拋物線的方程為
（2）點(diǎn)D的軌跡方程為

解：（1）由題意知橢圓C₁中有
所以
故橢圓的方程為=1…………2分
由F₂（1，0）為拋物線的焦點(diǎn)可得
所以拋物線的方程為…………4分
（2）當(dāng)直線AB的斜率存在時(shí)
設(shè)直線AB的方程為
聯(lián)立
得…………6分



即
①…………8分
又，設(shè)②
又點(diǎn)D在直線AB上，
③…………10分
把②③代入①得

點(diǎn)D的軌跡方程為
當(dāng)直線AB的斜率不存在時(shí)，
點(diǎn)D的軌跡方程為…………12分