Question

如果有窮數(shù)列a₁，a₂，a₃，…，a_m（m=2k，k∈N^*）滿足條件a₁=-a_m，a₂=-a_m-1，…，a_m=-a₁即a_i=-a_m-i+1（i=1，2，…，m），我們稱其為“反對稱數(shù)列”．
（1）請?jiān)谙铝袡M線上填入適當(dāng)?shù)臄?shù)，使這6個(gè)數(shù)構(gòu)成“反對稱數(shù)列”：-8，

-4

，-2，

2

，4，

8

；
（2）設(shè){c_n}是項(xiàng)數(shù)為30的“反對稱數(shù)列”，其中c₁₆，c₁₇，c₁₈，…，c₃₀構(gòu)成首項(xiàng)為-1，公比為2的等比數(shù)列．設(shè)T_n是數(shù)列{nc_n}的前n項(xiàng)和，則T₁₅=

2¹⁶-17

．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)“反對稱數(shù)列”的定義，可求出所求；
（2）根據(jù)“反對稱數(shù)列”的定義可知c₁，c₂，c₃，…，c₁₅構(gòu)成末項(xiàng)為1，公比為

1

2

的等比數(shù)列，首項(xiàng)為2¹⁴，然后利用錯(cuò)位相消法求所求即可．

解答：解：（1）∵有窮數(shù)列a₁，a₂，a₃，…，a_m（m=2k，k∈N^*）滿足條件a₁=-a_m，a₂=-a_m-1，…，a_m=-a₁即a_i=-a_m-i+1（i=1，2，…，m），我們稱其為“反對稱數(shù)列”．
∴a₁=-a₆，a₂=-a₅，a₃=-a₄，
∴a₆=-a₁=8，a₂=-a₅=4，a₄=-a₃=2
故答案為：-4，2，8
（2）∵{c_n}是項(xiàng)數(shù)為30的“反對稱數(shù)列”，其中c₁₆，c₁₇，c₁₈，…，c₃₀構(gòu)成首項(xiàng)為-1，公比為2的等比數(shù)列．
∴c₁，c₂，c₃，…，c₁₅構(gòu)成末項(xiàng)為1，公比為

1

2

的等比數(shù)列，首項(xiàng)為2¹⁴
T₁₅=c₁+2c₂+3c₃+…+15c₁₅
T₁₅=2¹⁴+2•2¹³+3•2¹²+…+15×1①

1

2

T₁₅=2¹³+2•2¹²+…+15×

1

2

②
①-②得

1

2

T₁₅=2¹⁴+2¹³+•2¹²+…+1-15×

1

2

∴T₁₅=2¹⁶-17．
故答案為：2¹⁶-17

點(diǎn)評：本題主要考查了數(shù)列的應(yīng)用，同時(shí)考查了利用錯(cuò)位相消法求數(shù)列的和，屬于中檔題．