Question

正四面體ABCD中，AO⊥平面BCD，垂足為，設(shè)是線段上一點(diǎn)，且是直角，則的值為                  .

Answer 1

1．

試題分析：延長BO，交CD于點(diǎn)N，可得BN⊥CD且N為CD中點(diǎn)

設(shè)正四面體ABCD棱長為1，得等邊△ABC中，BN=，BC=
∵AO⊥平面BCD，∴O為等邊△ABC的中心，得BO=，BN=，
Rt△ABO中，AO==
設(shè)MO=x，則Rt△BOM中，BM==
∵∠BMC=90°，得△BMC是等腰直角三角形，
∴BM=AM=BC，即=，解之得x=
由此可得AM=AO-MO=，所以MO=AM=，從而=1.
點(diǎn)評：中檔題，本題充分借助于正四面體的幾何性質(zhì)，通過發(fā)現(xiàn)等腰三角形，靈活利用勾股定理，達(dá)到解題目的。本題解法充分體現(xiàn)了立體幾何問題轉(zhuǎn)化成平面幾何問題的基本思路。