【題目】已知函數(shù)f(x)=ax2﹣ax﹣xlnx,且f(x)≥0.
(Ⅰ)求a;
(Ⅱ)證明:f(x)存在唯一的極大值點(diǎn)x0 , 且e﹣2<f(x0)<2﹣2

【答案】(Ⅰ)解:因?yàn)閒(x)=ax2﹣ax﹣xlnx=x(ax﹣a﹣lnx)(x>0),
則f(x)≥0等價(jià)于h(x)=ax﹣a﹣lnx≥0,
因?yàn)閔′(x)=a﹣ ,且當(dāng)0<x< 時(shí)h′(x)<0、當(dāng)x> 時(shí)h′(x)>0,
所以h(x)min=h( ),
又因?yàn)閔(1)=a﹣a﹣ln1=0,
所以 =1,解得a=1;
(Ⅱ)證明:由(1)可知f(x)=x2﹣x﹣xlnx,f′(x)=2x﹣2﹣lnx,
令f′(x)=0,可得2x﹣2﹣lnx=0,記t(x)=2x﹣2﹣lnx,則t′(x)=2﹣ ,
令t′(x)=0,解得:x= ,
所以t(x)在區(qū)間(0, )上單調(diào)遞減,在( ,+∞)上單調(diào)遞增,
所以t(x)min=t( )=ln2﹣1<0,從而t(x)=0有解,即f′(x)=0存在兩根x0 , x2 ,
且不妨設(shè)f′(x)在(0,x0)上為正、在(x0 , x2)上為負(fù)、在(x2 , +∞)上為正,
所以f(x)必存在唯一極大值點(diǎn)x0 , 且2x0﹣2﹣lnx0=0,
所以f(x0)= ﹣x0﹣x0lnx0= ﹣x0+2x0﹣2 =x0
由x0 可知f(x0)<(x0max=﹣ + = ;
由f′( )<0可知x0
所以f(x)在(0,x0)上單調(diào)遞增,在(x0 )上單調(diào)遞減,
所以f(x0)>f( )=﹣ + = ;
綜上所述,f(x)存在唯一的極大值點(diǎn)x0 , 且e﹣2<f(x0)<2﹣2
【解析】(Ⅰ)通過(guò)分析可知f(x)≥0等價(jià)于h(x)=ax﹣a﹣lnx≥0,進(jìn)而利用h′(x)=a﹣ 可得h(x)min=h( ),從而可得結(jié)論;
(Ⅱ)通過(guò)(Ⅰ)可知f(x)=x2﹣x﹣xlnx,記t(x)=f′(x)=2x﹣2﹣lnx,解不等式可知t(x)min=t( )=ln2﹣1<0,從而可知f′(x)=0存在兩根x0 , x2 , 利用f(x)必存在唯一極大值點(diǎn)x0及x0 可知f(x0)< ,另一方面可知f(x0)>f( )=﹣ + =
【考點(diǎn)精析】根據(jù)題目的已知條件,利用基本求導(dǎo)法則和函數(shù)的極值與導(dǎo)數(shù)的相關(guān)知識(shí)可以得到問(wèn)題的答案,需要掌握若兩個(gè)函數(shù)可導(dǎo),則它們和、差、積、商必可導(dǎo);若兩個(gè)函數(shù)均不可導(dǎo),則它們的和、差、積、商不一定不可導(dǎo);求函數(shù)的極值的方法是:(1)如果在附近的左側(cè),右側(cè),那么是極大值(2)如果在附近的左側(cè),右側(cè),那么是極小值.

練習(xí)冊(cè)系列答案
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,1具有“性質(zhì)2”,求實(shí)數(shù)的取值范圍;

(3)設(shè),,為2019個(gè)互不相同的實(shí)數(shù),點(diǎn)

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A. B. C. D.

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