Question

7．如圖，過(guò)圓E外一點(diǎn)A作一條直線與半徑為2的圓E交于B，C兩點(diǎn)，且$AB=\frac{1}{3}AC$，作直線AF與圓E相切于點(diǎn)F，連接EF交BC于點(diǎn)D，∠EBC=30°．　
（1）求AF的長(zhǎng)；
（2）求證：AD=3ED．

Answer 1

分析 （1）延長(zhǎng)BE交圓E于點(diǎn)M，連接CM，利用切割線定理轉(zhuǎn)化求解AF即可．
（2）過(guò)E作EH⊥BC于H，通過(guò)△EDH～△ADF，轉(zhuǎn)化求解即可．

解答 解：（1）延長(zhǎng)BE交圓E于點(diǎn)M，連接CM，則∠BCM=90°，
又BM=2BE=4，∠EBC=30°，所以$BC=2\sqrt{3}$，
又$AB=\frac{1}{3}AC$，可知$AB=\frac{1}{2}BC=\sqrt{3}$．
所以，$A{F^2}=AB•AC=\sqrt{3}•3\sqrt{3}=9$，即AF=3…（6分）
（2）證明：過(guò)E作EH⊥BC于H，則△EDH～△ADF，EH=2sin30°=1，
從而有$\frac{ED}{AD}=\frac{EH}{AF}=\frac{1}{3}$，因此AD=3ED…（10分）

點(diǎn)評(píng) 本題考查直線與圓的位置關(guān)系，切割線定理以及相似三角形的應(yīng)用，考查計(jì)算能力．