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如圖，正三棱柱ABC-A1B1C1的所有棱長都為2，D為CC1中點．

(Ⅰ)求證：AB1⊥平面A1BD；

(Ⅱ)求二面角A－A1D－B的大小．

答案：
解析：

　　解法一：(Ⅰ)取中點，連結．

　　為正三角形，．

　　正三棱柱中，平面平面，

　　平面．

　　連結，在正方形中，分別為的中點，

　　，

　　．在正方形中，

　　，

　　平面．

　　(Ⅱ)設與交于點，在平面中，

　　作于，連結，

　　由(Ⅰ)得平面．，

　　為二面角的平面角．

　　在中，由等面積法可求得，

　　又，

　　．

　　所以二面角的大小為．

　　解法二：(Ⅰ)取中點，連結．

　　為正三角形，．

　　在正三棱柱中，

　　平面平面，

　　平面．

　　取中點，以為原點，，

　　，的方向為軸的正方向建立空間直角坐標系，　　2分

　　則，，，，，

　　，，．

　　，，　　4分

　　，．平面．　　5分

　　(Ⅱ)設平面的法向量為．　　6分

　　，．，，

　　　　

　　　　8分

　　令得為平面的一個法向量．　　9分

　　由(Ⅰ)知平面，

　　為平面的法向量．　　10分

　　，　　11分

　　二面角的大小為．　　12分


練習冊系列答案
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科目：高中數學 來源： 題型：

精英家教網如圖，正三棱柱ABC-A1B1C1各棱長都等于a，E是BB1的中點．
（1）求直線C1B與平面A1ABB1所成角的正弦值；
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科目：高中數學 來源： 題型：

精英家教網如圖，正三棱柱ABC-A1B1C1的各棱長都2，E，F分別是AB，A1C1的中點，則EF的長是（　　）
A、2
B、
3
C、
5
D、
7

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科目：高中數學 來源： 題型：

如圖，正三棱柱ABC-A1B1C1的所有棱長都為2，D為CC1中點．
（Ⅰ）求證：AB1⊥平面A1BD；
（Ⅱ）求二面角A-A1D-B的正弦值．

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科目：高中數學 來源： 題型：

（2013•鄭州二模）如圖，正三棱柱ABC-A1B1C1的所有棱長都為2，D為CC1中點．
（Ⅰ）求證：AB1⊥面A1BD；
（Ⅱ）設點O為AB1上的動點，當OD∥平面ABC時，求
AOOB1
的值．

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科目：高中數學 來源： 題型：

精英家教網如圖，正三棱柱ABC-A1B1C1中（注：底面為正三角形且側棱與底面垂直），BC=CC1=2，P，Q分別為BB1，CC1的中點．
（Ⅰ）求多面體ABC-A1PC1的體積；
（Ⅱ）求A1Q與BC1所成角的大�。�

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