Question

20．已知多面體ABCDEFG是由一個(gè)平面截長(zhǎng)方體ABCD-A₁B₁C₁D₁所得的幾何體，如圖所示，其中AB=2BC=2AF=4CG=4．
（1）求BE的長(zhǎng)；
（2）求二面角A-EF-B的余弦值．

Answer 1

分析 （1）由勾股定理求出BD，從而能求出BE的長(zhǎng)．
（2）以D為原點(diǎn)，DA為x軸，DC為y軸，DE為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法能求出二面角A-EF-B的余弦值．

解答 解：（1）∵多面體ABCDEFG是由一個(gè)平面截長(zhǎng)方體ABCD-A₁B₁C₁D₁所得的幾何體，
AB=2BC=2AF=4CG=4
∴BD=$\sqrt{A{D}^{2}+A{B}^{2}}$=$\sqrt{{2}^{2}+{4}^{2}}$=2$\sqrt{5}$，
BE=$\sqrt{B{D}^{2}+D{E}^{2}}$=$\sqrt{20+4}$=2$\sqrt{6}$．
（2）以D為原點(diǎn)，DA為x軸，DC為y軸，DE為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，
E（0，0，2），F(xiàn)（2，0，2），B（2，4，0），
$\overrightarrow{EF}$=（2，0，0），$\overrightarrow{EB}$=（2，4，-2），
設(shè)平面BEF的法向量$\overrightarrow{n}$=（x，y，z），
則$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{EF}=2x=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{EB}=2x+4y-2z=0}\end{array}\right.$，取y=1，則$\overrightarrow{n}$=（0，1，2），
平面AEF的法向量$\overrightarrow{m}$=（0，1，0），
設(shè)二面角A-EF-B的平面角為θ，
則cosθ=$\frac{|\overrightarrow{m}•\overrightarrow{n}|}{|\overrightarrow{m}|•|\overrightarrow{n}|}$=$\frac{1}{\sqrt{5}}$=$\frac{\sqrt{5}}{5}$，
∴二面角A-EF-B的余弦值為$\frac{\sqrt{5}}{5}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查線段長(zhǎng)的求法，考查二面角的余弦值的求法，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意向量法的合理運(yùn)用．