Question

3．已知數(shù)列{a_n}滿足a_n=（2n+m）+（-1）ⁿ（3n-2）（m∈N^*，m與n無(wú)關(guān)），若$\sum_{i=1}^{2m}$a_2i-1≤k²-2k-1對(duì)任意的m∈N^*恒成立，則正實(shí)數(shù)k的取值范圍為[3，+∞）．

Answer 1

分析 由已知可得${a}_{2i-1}=[2（2i-1）+m]+（-1）^{2i-1}[3（2i-1）-2]$，再由等差數(shù)列的前n項(xiàng)和可得$\sum_{i=1}^{2m}$a_2i-1=m（4-2m）≤2，結(jié)合$\sum_{i=1}^{2m}$a_2i-1≤k²-2k-1可得k²-2k-1≥2，求解不等式得答案．

解答 解：由題意，${a}_{2i-1}=[2（2i-1）+m]+（-1）^{2i-1}[3（2i-1）-2]$=-2i+（m+3），
故$\sum_{i=1}^{2m}$a_2i-1=$\sum_{i=1}^{2m}$[-2i+（m+3）]=$\frac{2m[（m+1）-4m+（m+3）]}{2}=m（4-2m）$．
當(dāng)m∈N^*時(shí)，$\sum_{i=1}^{2m}$a_2i-1=m（4-2m）≤2．
又$\sum_{i=1}^{2m}$a_2i-1≤k²-2k-1對(duì)任意m∈N^*恒成立，
∴k²-2k-1≥2，解得k≥3或k≤-1．
故正實(shí)數(shù)k的取值范圍為[3，+∞）．
故答案為：[3，+∞）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查數(shù)列求和，考查數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)化思想方法，訓(xùn)練了一元二次不等式的解法，是中檔題．