Question

已知函數(shù)，令（m∈R）．
（1）若?x＞0，，使f（x）≤0成立，求實(shí)數(shù)m的取值范圍；
（2）設(shè)1＜m≤e，H（x）=f（x）-（m+1）x，證明：對(duì)?x₁，x₂∈[1，m]，恒有H（x₁）-H（x₂）＜1．

Answer 1

解：（1）由題意，得．
①當(dāng)m＞0時(shí)，，因此f（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞增，由對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，知f（x）的值域?yàn)镽，因此?x＞0，使f（x）≤0成立；
②當(dāng)m=0時(shí)，，對(duì)?x＞0，f（x）＞0恒成立；
③當(dāng)m＜0時(shí)，由得，

x
	-	0	+
f（x）	↘	極小值	↗

此時(shí)．
令．
所以對(duì)?x＞0，f（x）＞0恒成立，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是（-e，0]．
故?x＞0，使f（x）≤0成立，實(shí)數(shù)m的取值范圍是（-∞，-e]∪（0，+∞）．
（2）∵，
∴．
?x∈[1，m]，≤0，所以函數(shù)H（x）在[1，m]上單調(diào)遞減．
于是．
．
記，
則，
所以函數(shù)在（1，e]上是單調(diào)增函數(shù)，
所以，
故對(duì)?x₁，x₂∈[1，m]，恒有H（x₁）-H（x₂）＜1．
分析：（1）由題意，得．討論m的范圍判斷函數(shù)的單調(diào)性與其最值，通過(guò)最小值與0的關(guān)系得到m的范圍．
（2）≤0，所以函數(shù)H（x）在[1，m]上單調(diào)遞減．，所以設(shè)判斷其單調(diào)性求其最值即可證得．
點(diǎn)評(píng)：解決至少存在問(wèn)題可從正面入手找到存在的原因也可以先做它的反面，證明不等式問(wèn)題一般利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)單調(diào)性通過(guò)函數(shù)的單調(diào)性求函數(shù)的最值，在利用最值求證不等式，函數(shù)與不等式結(jié)合是高考考查的熱點(diǎn)之一．