Question

（2011•昌平區(qū)二模）已知函數(shù)f（x）=x²-ax+a（x∈R），在定義域內(nèi)有且只有一個零點，存在0＜x₁＜x₂，使得不等式f（x₁）＞f（x₂）成立．若n∈N^*，f（n）是數(shù)列{a_n}的前n項和．
（I）求數(shù)列{a_n}的通項公式；
（II）設各項均不為零的數(shù)列{c_n}中，所有滿足c_k•c_k+1＜0的正整數(shù)k的個數(shù)稱為這個數(shù)列{c_n}的變號數(shù)，令cn=1-

4

an

（n為正整數(shù)），求數(shù)列{c_n}的變號數(shù)；
（Ⅲ）設Tn=

1

an+6

（n≥2且n∈N^*），使不等式

7 m

30

≤(1+T2)•(1+T3)…(1+Tn)•

1

2n+3

恒成立，求正整數(shù)m的最大值．

Answer 1

分析：（I）由函數(shù)f（x）在定義域內(nèi)有且只有一個零點，知△=a²-4a=0，得a=0或a=4．由此能求出數(shù)列{a_n}的通項公式．
（II）法一：由題設cn=

-3            n=1 1- 4 2n-5    n≥2

，因為n≥3時，cn+1-cn=

4

2n-5

-

4

2n-3

=

8

(2n-5)(2n-3)

＞0，所以n≥3時，數(shù)列{c_n}遞增．由此能夠推導出數(shù)列{c_n}變號數(shù)為3．
法二：由題設cn=

-3             n=1 1- 4 2n-5    n≥2

，知當n≥2時，令c_n•c_n+1＜0，得

2n-9

2n-5

•

2n-7

2n-3

＜0，解得n=2或n=4．由此能夠推導出數(shù)列{c_n}變號數(shù)為3．
（Ⅲ）n≥2且n∈N^*時，Tn=

1

2n+1

7 m

30

≤(1+

1

5

)(1+

1

7

)…(1+

1

2n+1

)•

1

2n+3

，轉化為 

7 m

30

≤

6

5

•

8

7

•

10

9

…

2n

2n-1

•

2n+2

2n+1

•

1

2n+3

．由此入手能夠推導出正整數(shù)m的最大值為5．

解答：解：（I）∵函數(shù)f（x）在定義域內(nèi)有且只有一個零點
∴△=a²-4a=0得a=0或a=4（1分）
當a=0時，函數(shù)f（x）=x²在（0，+∞）上遞增故不存在0＜x₁＜x₂，
使得不等式f（x₁）＞f（x₂）成立        （2分）
綜上，得a=4，f（x）=x²-4x+4．（3分）
∴S_n=n²-4n+4
∴an=Sn-Sn-1=

1         n=1 2n-5  n≥2

（4分）
（II）解法一：由題設cn=

-3            n=1 1- 4 2n-5    n≥2

∵n≥3時，cn+1-cn=

4

2n-5

-

4

2n-3

=

8

(2n-5)(2n-3)

＞0
∴n≥3時，數(shù)列{c_n}遞增．
∵c4=-

1

3

＜0，
由1-

4

2n-5

，得n≥5可知
即n≥3時，有且只有1個變號數(shù)；     
又即∴此處變號數(shù)有2個
綜上得數(shù)列{c_n}共有3個變號數(shù)，即變號數(shù)為3           （9分）
解法二：由題設cn=

-3             n=1 1- 4 2n-5    n≥2

當n≥2時，令c_n•c_n+1＜0，
得

2n-9

2n-5

•

2n-7

2n-3

＜0，
即

3

2

＜n＜

5

2

或

7

2

＜n＜

9

2

，
解得n=2或n=4．
又∵c₁=-3，c₂=5，
∴n=1時也有c₁•c₂＜0
綜上得數(shù)列{c_n}共有3個變號數(shù)，即變號數(shù)為3…（9分）
（Ⅲ）n≥2且n∈N^*時，Tn=

1

2n+1

7 m

30

≤(1+

1

5

)(1+

1

7

)…(1+

1

2n+1

)•

1

2n+3

可轉化為    

7 m

30

≤

6

5

•

8

7

•

10

9

…

2n

2n-1

•

2n+2

2n+1

•

1

2n+3

．
設g（n）=

6

5

•

8

7

•

10

9

…

2n

2n-1

•

2n+2

2n+1

•

1

2n+3

，
則當n≥2且n∈N^*，

g(n+1)

g(n)

=

6 5 • 8 7 • 10 9 … 2n+2 2n+1 • 2n+4 2n+3 • 1 2n+5

6 5 • 8 7 • 10 9 … 2n+2 2n+1 • 1 2n+3

=

2n+4

2n+3

•

2n+3

2n+5

=

2n+4

(2n+3)(2n+5)

=

2n+4

4n2+16n+15

＞

2n+4

4n2+16n+16

=

2n+4

(2n+4)2

=

2n+4

2n+4

=1．
所以g（n+1）＞g（n），即當n增大時，g（n）也增大．
要使不等式

7 m

30

≤(1+T2)(1+T3)…(1+Tn)•

1

2n+3

對于任意的n∈N^*恒成立，
只需

7 m

30

≤g(n)min即可．
因為g(n)min=g(2)•

1

7

=

6

5

•

7

7

=

6 7

35

，
所以

7 m

30

≤

6 7

35

．
即 m≤

180

35

=5

1

7

所以，正整數(shù)m的最大值為5．（13分）

點評：本題考查數(shù)列與不等式的綜合，計算量大，解題時要認真審題，注意計算能力的培養(yǎng)．本題對數(shù)學思維的要求比較高，有一定的探索性．綜合性強，難度大，易出錯．