Question

函數(shù)f（x）=cos（πx+φ）（0＜φ＜

π

2

）的部分圖象如圖所示．
（Ⅰ）寫出φ及圖中x₀的值；
（Ⅱ）設(shè)g（x）=f（x）+f（x+

1

3

），求函數(shù)g（x）在區(qū)間[-

1

2

，

1

3

]上的最大值和最小值．

Answer 1

考點：余弦函數(shù)的圖象

專題：三角函數(shù)的求值,三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)

分析：（Ⅰ）由題意可得

3

2

=cos（0+φ），可得φ的值．由

3

2

=cos（πx₀+

π

6

），可得x₀的值．
（Ⅱ）先求得g（x）的函數(shù)解析式，由 x∈[-

1

2

，

1

3

]，可得-

π

6

≤πx+

π

3

≤

2π

3

，從而可求函數(shù)g（x）在區(qū)間[-

1

2

，

1

3

]上的最大值和最小值．

解答： （共13分）
解：（Ⅰ）∵

3

2

=cos（0+φ）
∴φ的值是

π

6

．…（2分）
∵

3

2

=cos（πx₀+

π

6

）
∴2π-

π

6

=πx₀+

π

6

，可得x₀的值是

5

3

．…（5分）
（Ⅱ）由題意可得：f(x+

1

3

)=cos(π(x+

1

3

)+

π

6

)=cos(πx+

π

2

)=-sinπx．…（7分）
所以 f(x)+f(x+

1

3

)=cos(πx+

π

6

)-sinπx=cosπxcos

π

6

-sinπxsin

π

6

-sinπx…（8分）
=

3

2

cosπx-

1

2

sinπx-sinπx=

3

2

cosπx-

3

2

sinπx=

3

cos(πx+

π

3

)．…（10分）
因為 x∈[-

1

2

，

1

3

]，
所以 -

π

6

≤πx+

π

3

≤

2π

3

．
所以 當πx+

π

3

=0，即x=-

1

3

時，g（x）取得最大值

3

；
當πx+

π

3

=

2π

3

，即x=

1

3

時，g（x）取得最小值-

3

2

．…（13分）

點評：本題主要考察了，三角函數(shù)化簡求值，三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)，三角函數(shù)最值的解法，屬于中檔題．