Question

7．已知向量$\overrightarrow m=（\sqrt{3}sintx，-{cos^2}tx），\overrightarrow n=（costx，1）（t＞0）$，把函數(shù)f（x）=$\overrightarrow m•\overrightarrow n+\frac{1}{2}$化簡(jiǎn)為f（x）=Asin（ωx+ϕ）+B的形式后，利用“五點(diǎn)法”畫y=f（x）在某一個(gè)周期內(nèi)的圖象時(shí)，列表并填入的部分?jǐn)?shù)據(jù)如下表所示：
（1）請(qǐng)直接寫出①處應(yīng)填的值，并求t的值及函數(shù)y=f（x）在區(qū)間$[-\frac{π}{2}，\frac{π}{6}]$上的單增區(qū)間、單減區(qū)間；
（2）設(shè)△ABC的內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，已知$f（\frac{A}{2}+\frac{π}{6}）=1，c=2，a=\sqrt{7}$，求$\overrightarrow{BA}•\overrightarrow{BC}$

x	$\frac{π}{12}$		$\frac{7π}{12}$	①
ωx+ϕ	0	$\frac{π}{2}$		$\frac{3π}{2}$	2π
f（x）	0	1	0	-1	0

Answer 1

分析 （1）根據(jù)平面向量的數(shù)量積公式化簡(jiǎn)f（x），根據(jù)表中第一列數(shù)據(jù)計(jì)算t的值，從而可求得①處的值和單調(diào)區(qū)間；
（2）計(jì)算A的值，利用正弦定理求出C，從而可求出cosB，代入向量的數(shù)量積公式即可得出$\overrightarrow{BA}•\overrightarrow{BC}$的值．

解答 解：（1）f（x）=$\overrightarrow{m}•\overrightarrow{n}$+$\frac{1}{2}$=$\sqrt{3}$sintxcostx-cos²tx+$\frac{1}{2}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$sin2tx-$\frac{cos2tx}{2}$=sin（2tx-$\frac{π}{6}$）．
∵當(dāng)x=$\frac{π}{12}$時(shí)，2tx-$\frac{π}{6}$=0，∴t=1，
∴當(dāng)2x-$\frac{π}{6}$=$\frac{3π}{2}$時(shí)，x=$\frac{5π}{6}$，
∴①處應(yīng)填的值為$\frac{5π}{6}$．
單減區(qū)間$[-\frac{π}{2}，-\frac{π}{6}]$，單增區(qū)間$[-\frac{π}{6}，\frac{π}{6}]$．
（2）∵f（$\frac{A}{2}$+$\frac{π}{6}$）=1，即sin（A+$\frac{π}{6}$）=1，
∴A+$\frac{π}{6}$=$\frac{π}{2}$，即A=$\frac{π}{3}$，
由正弦定理得：$\frac{a}{sinA}=\frac{c}{sinC}$，∴sinC=$\frac{csinA}{a}$=$\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{7}}$，
∵c＜a，∴C＜$\frac{π}{3}$，
∴cosC=$\frac{2}{\sqrt{7}}$．
∴cosB=-cos（A+C）=sinAsinC-cosAcosC=$\frac{1}{2\sqrt{7}}$．
∴$\overrightarrow{BA}•\overrightarrow{BC}$=accosB=2×$\sqrt{7}$×$\frac{1}{2\sqrt{7}}$=1．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了平面向量的數(shù)量積運(yùn)算，三角函數(shù)的恒等變換，屬于中檔題．