Question

17．設(shè)函數(shù)f（x）=ax+（x+1）ln（x+1）．
（1）a=0時(shí)，求f（x）的單調(diào)遞減區(qū)間；
（2）當(dāng)a≥-1時(shí)，對任意的x≥1，有f（x）≥3成立，求a的取值范圍；
（3）討論函數(shù)f（x）正數(shù)零點(diǎn)的個(gè)數(shù)．

Answer 1

分析 （1）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，解關(guān)于導(dǎo)函數(shù)的不等式，求出函數(shù)的遞減區(qū)間即可；
（2）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性求出f（x）的最小值，求出a的范圍即可；
（3）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，通過討論a的范圍，求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，從而求出函數(shù)的正數(shù)零點(diǎn)的個(gè)數(shù)．

解答 解：（1）a=0時(shí)，f（x）=（x+1）ln（x+1），
f′（x）=1+ln（x+1），
若f′（x）＜0，則-1＜x＜$\frac{1}{e}$-1，
則f（x）在（-1，$\frac{1}{e}$-1）遞減；
（2）f′（x）=a+1+ln（x+1），
x≥1，a≥-1時(shí)，f′（x）＞0恒成立，f（x）在[1，+∞）遞增，
則f（x）_min=f（1）≥3，即a+2ln2≥3，
∴a≥3-2ln2；
（3）f′（x）=a+1+ln（x+1），
①a≥-1時(shí)，x＞0時(shí)，恒有f′（x）＞0，
此時(shí)，f（x）在（0，+∞）遞增，又f（0）=0，
∴f（x）無正零點(diǎn)，
②a＜-1時(shí)，f′（x）=0，解得：x=e^-a-1-1，
故x∈（0，e^-a-1-1）時(shí)，f′（x）＜0，f（x）遞減，
x∈（e^-a-1-1，+∞）時(shí)，f′（x）＞0，f（x）遞增，
故f（x）min=f（e^-a-1-1）=-a-e^-a-1＜0，
又f（0）=0，x→+∞時(shí)，f（x）→+∞，
故此時(shí)，f（x）有且只有1個(gè)正零點(diǎn)，
綜上，a≥-1時(shí)，函數(shù)f（x）無正零點(diǎn)，
a＜-1時(shí)，函數(shù)f（x）有1個(gè)正零點(diǎn)．

點(diǎn)評 本題考查了函數(shù)的單調(diào)性、最值問題，考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用以及分類討論思想，轉(zhuǎn)化思想，是一道中檔題．