Question

7．2017年天貓五一活動結(jié)束后，某地區(qū)研究人員為了研究該地區(qū)在五一活動中消費超過3000元的人群的年齡狀況，隨機在當?shù)叵�費超過3000元的群眾中抽取了500人作調(diào)查，所得概率分布直方圖如圖所示：記年齡在[55，65），[65，75），[75，85]對應的小矩形的面積分別是S₁，S₂，S₃，且S₁=2S₂=4S₃．
（1）以頻率作為概率，若該地區(qū)五一消費超過3000元的有30000人，試估計該地區(qū)在五一活動中消費超過3000元且年齡在[45，65）的人數(shù)；
（2）若按照分層抽樣，從年齡在[65，75），[75，85）的人群中共抽取6人，再從這6人中隨機抽取2人作深入調(diào)查，求至少有1人的年齡在[75，85）內(nèi)的概率．

Answer 1

分析 （1）利用頻率分布直方圖面積的和為1，求出區(qū)間[75，80]的頻率為x，然后求解在五一活動中消費超過3000元且年齡在[45，65）的人數(shù)；
（2）求出在[65，75），[75，85）的人群中共抽取6人各個求解的人數(shù)，寫出所有的基本事件數(shù)，至少有1人的年齡在[75，85）內(nèi)的事件數(shù)，然后求解概率．

解答 （本題滿分12分）
解：（1）設(shè)區(qū)間[75，80]的頻率為x，則區(qū)間[55，65），[65，75）內(nèi)的頻率依次為4x和2x，依題意得（0.004+0.012+0.019+0.03）×10+4x+2x+x=1，∴x=0.05…（3分）
∴在五一活動中消費超過3000元且年齡在[45，60）歲之間的人數(shù)為：
30000×（10×0.03+4×0.5）=1500（人）…（6分）
（2）若按分層抽樣，年齡在[65，75），[75，85）分別抽取2人和4人，記年齡在[75，85）的兩
人為A，B，記年齡在[65，75）的4人為1，2，3，4；隨機抽取兩人可能情況有：
（A，B），（A，1）（A，2），（A，3），（A，4），（B，1），（B，2），（B，3），（B，4），（1，2），（1，3），（1，4），（2，3），（2，4），（3，4），共15種情況，…（8分）
其中滿足條件的有：（A，B），（A，1）（A，2），（A，3），（A，4），（B，1），（B，2），（B，3），（B，4）共9…（10分）
種故所求概率為：P=$\frac{9}{15}$=$\frac{3}{5}$．…（12分）

點評 本題考查古典概型概率公式的應用，頻率分布直方圖的應用，考查計算能力．